【推荐1】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为．
      
(1)求的长（用含的代数式表示）；
(2)如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标；
(3)点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为．
①求的值；
②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值．

【推荐2】小刚在用描点法画抛物线：时，列出了下面的表格：

		0	1	2	3	4
		3	6	7	6	3

(1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：　　；
(2)求抛物线的解析式；
(3)将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；
①若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取值范围；
②抛物线的顶点为A，与轴交点为点，（点在点左侧），点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接，，求证：．

【推荐3】如图1，在平而直角坐标系中，抛物线（、、为常数，）的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．

       

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点；是否存在点，使得取得最大值，若存在请求出它的最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点是抛物线上另一动点，且满足，请直接写出点的坐标．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．

   

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．
如图，当时，请直接写出的值；
请直接写出关于的函数关系式．

【推荐3】规定：我们把直线l：叫做抛物线L：的“温暖直线”．若该直线与该抛物线还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线l与抛物线L具备“温暖而幸福关系”，否则称直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”．
(1)已知直线l：是抛物线L：的“温暖直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；
(2)已知直线l：与抛物线L：不具备“温暖而幸福关系”，当时，抛物线L：的最小值是﹣6，求直线l的解析式．

【推荐1】新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．

【推荐3】对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．
（1）下列函数①y＝2x，②y＝x²+1，③y＝x²﹣2x中存在不动值的是 　 　（填序号）
（2）函数y＝3x²+bx，
①若其不动长度为0，则b的值为 　 　；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x²﹣4x（x≥t）的图象为G₁，将G₁沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G₂，函数G的图象由G₁和G₂两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 　 　．