【推荐1】如图，已知和为等腰三角形，，，，点E在的延长线上，点F在射线上，且．求证：．

【推荐2】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
   
(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
　 　（填“”，“”或“”），
　 　（填“”，“”或“”）；
(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

【推荐3】如图1，在中，延长到，使，点是下方一点，连接，，且．
   
(1)如图1，若，则______度；
(2)如图2，若，，将沿直线翻折得到，连接，连接交于，当时，求的长度；
(3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于，交于，若，，，请直接写出线段的长度（用含的代数式表示）．

【推荐1】在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点，点旋转后的对应点分别为点，点．
   
(1)如图1，当点恰好为线段的中点时，       °，      ；
(2)当线段与线段有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段与的数量关系并加以证明；
②连接，请直接写出的长的取值范围．

【推荐2】正方形中，点O是对角线的中点，点P是所在直线上的一个动点，于E，于F．
   
(1)当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并说明理由；
(2)当点P在线段上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点P在线段的延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出相应的结论．

【推荐3】抛物线与x轴的交点为，B，与y轴交于点C．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线第一象限上的一点，若，求点P的坐标；
(3)M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，，交y轴于点E、D，求的值．