【推荐2】（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且．

(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，AB为⊙O的直径，且AO=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM

(1)求∠OMP的度数；
(2)随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；
(3)当点P在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长．

【推荐3】在菱形中，，，动点M在射线上运动．

(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．

【推荐1】已知：在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，
求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

     

【推荐2】如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．

(1)如图②，△ABC中，若AB＝BC，且∠ABC＝90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；
(2)如图③，△ABC中，若AB＝BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；
(3)如图④，△ABC中，若AB：BC＝m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．

【推荐3】如图，在中，，，动点P从C出发，按照的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为．

（1）BC边上的高为________；AB边上的高为________．
（2）当时，求t的值；
（3）若是等腰三角形，求出满足条件t的值．

【推荐2】如图①，在中，，，，D为的中点，为的中位线，四边形为的内接矩形（矩形的四个顶点均在的边上）．

(1)计算矩形的面积；
(2)将矩形沿向右平移、点F落在上时停止移动，在平移过程中，当矩形与重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
(3)如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当H₁落在上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．

【推荐3】如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上一点（与点，不重合），射线交的延长线于点．
   
(1)求证：；
(2)点是的中点，连接，，当时，
①求证：四边形是平行四边形；
②若，当四边形为菱形时，求的长．