【推荐1】如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接、．

(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)设与的交点为，若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，已知，，求的周长的最大值．

【推荐1】如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．

（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：DE是⊙O的切线．

【推荐2】如图，在中，，点是边的中点，过点作于点，的外接圆与边交于点，，
（1）①补全图形；②判断直线与的外接圆的公共点个数，并给出证明．
（2）若，，求线段的长度．

【推荐3】如图，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D， 平分，于点E，

(1)求证：是的切线：
(2)求的长．

【推荐1】如图，在△ABC中，D为BC上一点，以D为圆心，BD为半径画⊙D，AC与⊙D相切于点F，DA平分∠BDF，且CD＝ED，连接EF，
（1）求证：AB与⊙D相切；
（2）若AE＝2，CF＝4，求EF．

【推荐2】小红和小华决定利用所学数学知识测量出一棵大树的高度．如图，小红在点C处，测得大树顶端A的仰角的度数；小华竖立一根标杆并沿方向平移标杆，当恰好平移到点D时，发现从标杆顶端E处到点C的视线与标杆所夹的角与相等，此时地面上的点F与标杆顶端E、大树顶端A在一条直线上，测得米，标杆米，米，已知B、C、D、F在一条直线上，，请你根据测量结果求出这棵大树的高度．

【推荐3】如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
   
(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐1】如图，A、B、C是半径为2的上三点，AB为直径，的平分线交圆于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E，延长线交的延长线于点F．

(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的值．

【推荐2】如图，中，，

(1)尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接BD，若，求AC的长．
(3)在（2）的条件下，             ；

【推荐3】已知：如图，是的直径，C是上一点，，垂足为点D，F是的中点，与相交于点E，，．

(1)求的长；
(2)求的值．