【推荐1】如图，是的直径，点在上，平分角交于，过作直线的垂线，交的延长线于，连接，．

(1)求证：；
(2)求证：直线是的切线；
(3)若，，求的长．

【推荐3】已知：如图为的直径，弦、相交于点P，

(1)证明图中的相似三角形；
(2)若，，，求的长．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点F．
（1）求证：DF=BF
（2）若AC=6，⊙O的半径为5，求BD的长．

【推荐2】如图，内接于，是的直径，点D在上，且平分，过点D作的切线交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，在中，，点D在BC上，，过点D作，垂足为E，经过A，B，D三点．

(1)求证：是的直径；
(2)判断与的位置关系，并加以证明；
(3)若的半径为6，，求的长．

【推荐1】如图，在中，，是的平分线，点在上，经过，两点，交于点．
   
（1）求证：是的切线.
（2）若，，求的长．

【推荐2】将的顶点A放在半圆O上，现从A与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转后分别与半圆O交于点E，F，连接（如图2）．已知，，．半圆O的直径为8．
   
(1)从图1到图2，判断弦的长度是否变化，若不会变化，求的长；若变化，说明理由．
(2)求的中点M的运动路径长．
(3)当点F与点D重合时，判断与半圆O的位置关系，并证明．
(4)在（3）中，求与半圆O重叠部分的面积．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5，BD=2，求线段AE的长．

【推荐1】如图，AB是的直径，C点在上，连接AC，的平分线交于点D，过点D作交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是的切线；
（2）若AB＝10，，连接CD，求CD的长．

【推荐2】如图，，为中点，将绕点逆时针旋转后得到扇形，动点从点出发在优弧上运动，速度为，运动到点停止，设点运动的时间为．

(1)的最大值是________，面积的最大值是________________；
(2)当时，求证：线段所在的直线与优弧相切；
(3)点到所在的直线的距离小于，直接写出扇形面积的取值范围．

【推荐3】综合与实践
问题情景：在中，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．

猜想证明：
（1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
（3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ．