【推荐1】海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年轻时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图1，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积．

(1)如图2，在中，，，，则__________，__________，的面积__________．
(2)在中，若，，
①若的面积，求的值；
②若的面积是否存在最大值？如果存在，请直接写出此时外接圆的直径，如果不存在，请简要说明理由．

【推荐2】问题提出

（1）如图，在中，，D为上一点，，则面积的最大值是______．

问题探究

（2）如图，已知矩形的周长为，求矩形面积的最大值．

问题解决

（3）如图，是葛叔叔家的菜地示意图，其中米，米，米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形，且满足，你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由.

【推荐3】已知二次函数．
（1）求图象的顶点坐标（用的代数式表示）．
（2）若无论取何非零实数，该图象必过两定点，请求出这两个定点的坐标．
（3）若，当时，图象的最高点的纵坐标为6，求最低点的坐标．
（4）若为该图象上的两点，当时，有，设，请直接写出的取值范围．

【推荐1】在正方形中，为直线上一动点(不与端点重合)，以为直角边在右侧作等腰直角三角形连接．
（1）如图①，当点在线段上时，线段和的数量关系为　　　　；

（2）如图②，当点在线段延长线上时，线段和之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

（3）如图③，当点在线段反向延长线上时，且点分别在直线的两侧，请直接写出线段和的数量关系为　　　　；

【推荐3】已知：如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，同时出发，当点停止运动时，点也随之停止，设点运动的时间为秒．请回答下列问题：
   
（1）请用含的式子表达的面积，并直接写出的取值范围．
（2）是否存在某个值，使得和全等？若存在，请求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作交折线于点D，连结，将绕点D逆时针旋转90°得到．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)______．
(2)用含t的代数式表示线段的长．
(3)当点E落在边上时，求t的值．
(4)当与重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）．
(1)当在抛物线上，求m的值．
(2)当抛物线的最低点到直线的距离恰好是时，求a的值．
(3)已知、，连接．当抛物线与线段有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形．
①若抛物线在矩形内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．

【推荐3】直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接．

(1)求点的坐标；
(2)设的面积为，求S与t的关系式；
(3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．