【推荐1】如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．

   

(1)求证：直线是的切线；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐2】在中，，，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)如图1，当时，请写出线段和线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段、、的数量关系，并证明．

【推荐3】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：
【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明．
【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，．求证：；
②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长．
【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）

【推荐1】如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若．

(1)求证：矩形为正方形；
(2)若，求的长．

【推荐2】在矩形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接所得的四边形我们称之为中点四边形，如图．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）设的中点四边形是，的中点四边形是…．的中点四边形是，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？　　（填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性　　；
（3）进一步：如果我们规定：矩形，菱形，并将矩形的中点四边形用表示；菱形的中点四边形用表示，由题（1）知，，那么　　．

【推荐3】如图，菱形的对角线相交于点O，．

(1)连接，求证：；
(2)当等于多少度时，四边形是正方形？并证明你的结论．

【推荐1】已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，连接和．
   
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，，点在同一条线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．

(1)在下图中，画出线段的中点；

(2)在下图中，画出菱形，使点分别在上．

【推荐3】如图，，是正方形的对角线上的两点，且．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若正方形边长为，，直接写出菱形的面积______．