【推荐1】在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求的取值范围．
(3)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式．
(4)点在直线上运动，若在坐标平面内有且只有两个点使为直角三角形，直接写出的取值范围．

【推荐3】对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”．已知，
（1）在中，点A的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；
（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线．
①若点P在⊙O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；
②若在⊙O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围．

【推荐2】如图，在菱形中，，，对角线交于点O，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且，点E为的中点，过点E作交于点F．
   
(1)求证：；
(2)将沿方向以每秒1个单位长度的速度平移到，当点与点D重合后，立即绕点D以每秒3度的速度逆时针方向旋转停止运动．
①线段从平移开始，到绕点D旋转结束，求边扫过的面积；
②求在旋转过程中，的最大值与最小值的差：
③若点M在上，且，直接写出点M在内部（包括边界）时的时长．

【推荐3】约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．

   

(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．

①求证：直线与相切；

②若的直径为，求线段的长；

(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．