【推荐1】将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．
(1)如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．

①求证：；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；
(2)如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、α的式子表示）．

【推荐2】当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．

（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝　 　AP，△CPP'是　 　三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是　 　．
（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．

【推荐3】如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．

【推荐1】已知：如图，，点在上，．
（1）求作线段的垂直平分线，交于点；
（2）联结，求作的角平分线；
（3）根据（1）（2）的条件，求的长．
（第（1）、（2）题保留作图痕迹，不需要写出作图步骤）

【推荐2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
   
（1）在斜边AB上确定一点E，使点E到点B距离和点E到AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC=6，点E到AC的距离为ED=4，求BD的长．

【推荐3】图1是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，请你用两种不同的方法分别在下面两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它与原图中的两个黑色小正方形构成为轴对称图形．

（2）如图2，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（保留作图痕迹）

【推荐1】如图所示，等腰直角中，．
   
(1)如图1所示，若D是内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接，，猜想线段与的关系并说明理由；
(2)如图2所示，若D是外一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，且，求证：；

【推荐2】已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F．
   
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，连接，若，求的长．

【推荐3】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为      ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D．
①点A的坐标为      ，点B的坐标为      ；
②直接写出点C的坐标      ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且，．若点C的坐标为，点A的坐标为，点B在第四象限时，请求出点B的坐标．