【推荐1】如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、．
   
(1)求证：；
(2)当点P在边上移动时，求证：的周长是定值；
(3)当的长取最小值时，求的长．

【推荐3】如图1，在正方形中，点E是边上一点（点E不与点B、C重合），交延长线于点F.

(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点K，过点D作交于点G，垂足为点H，连接、
①求证：；
②若，设，当是等边三角形时，求x的值；
③当时，求证：.

【推荐1】已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．
   
(1)求和的长；
(2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值．
(3)如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长．

【推荐2】对于及其边上的一点，给出如下定义：如果点，，…都在的边上，且，那么称点，，…为关于点的等距点，线段，，…为关于点的等距线段．

(1)如图1，中，，，点是的中点．点，        关于点的等距点，线段，        关于点的等距线段；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，求出线段的长；
(3)如图3，在中，，，点在上，关于点的等距点恰好有两个，且其中一个是点，若，直接写出长的取值范围（用含的式子表示）．