【推荐1】【发现】（1）如图①，点A为线段外一动点，且，．我们发现当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为______（用含有a，b的代数式表示）；
【探究】（2）如图②，点A为线段外一动点，分别以，为边向外作等边和等边，连接，．求证：；
【应用】（3）如图②，当，时，线段的最大值为______；
【拓展】（4）如图③，在平面直角坐标系中，点B的坐标，点C的坐标，点A为线段外一动点，且，以，为边向外作等腰直角和等腰直角，且，，，则线段长的最大值为______．

【推荐2】定义：若实数满足（为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“值友好点”．例如，点是点的“1值友好点”．
(1)在，，，四点中，点______是点的“值友好点”．
(2)设点是点的“值友好点”．
①当时，求的值．
②若点坐标为，当时，请直接写出点的坐标以及的值．

【推荐1】在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME⊥AM．   

（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；       
（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求 的值（用含k的式子表示）．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24）．
（1）求AB的值；
（2）点C在OA上，且BC平分∠OBA，求点C的坐标；
（3）在(2)的条件下，点M在第三象限，点D为y轴上的一个点，连接DM交x轴于点H，连接CM,点F为BC的中点，点E为AD的中点，AD与BC交于点G，点H为DM的中点，当∠MCG-∠DGF=∠OAB，且AD=CM时,求线段EF的长．

【推荐3】如图，已知.求证：

【推荐1】在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现： 如图1，．若，则              ，            ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用： 如图3，点 E为正方形 的边上的三等分点，以为边在上方作正方形， 点O为正方形的中心， 若，请直接写出线段 EF的长．

【推荐2】在正方形中，点P是射线上一个动点，连接，，点M、N分别为、的中点，连接交于点Q．
   
(1)如图1，当点P与点B重合时，的形状是　 　；
(2)当点P在线段的延长线上时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断的形状并加以证明；
(3)点与点P关于直线对称，且点在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，正方形的边长为2，请写出求此时长的思路（可以不写出计算结果）．

【推荐3】通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
   
(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．