【推荐1】如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．
例如：若中，，则为以边为底边的倍角三角形．
问题提出
(1)如图，已知为倍角三角形，且，为的角平分线．

①则图中相等的线段有______，图中相似三角形有______；
②若点正好在的垂直平分线上，且，求的值；
问题解决
(2)如图，现有一块梯形板材，，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，且为以为底边的倍角三角形，工人师傅在这块板材上的作法如下：

第一步：作的垂直平分线交于点；
第二步：在上方的直线上截取，连接并延长，交于点；
第三步：连接，得．
①请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的想法．
②是否存在其它满足要求的？若存在，请在图中画出一种符合要求的图形并简要说明作法；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．

(1)如图1，如果，求的值；
(2)联结AO， 如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时， 联结， 求线段OC的长．

【推荐3】数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（Pappus，约300﹣350）把△AOB三等分的操作如下：

（1）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象； （3）以点为圆心，为半径作弧，交函数； （4）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，； （5）作射线，交于点，得到．

   
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)证明：、、三点共线；
(3)证明：．

【推荐2】如图，等腰三角形的一边在轴的正半轴上，点的坐标为， ，动点从原点出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点匀速运动，动点从原点出发，沿轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点作轴的平行线分别交于，设动点，同时出发，当点到达点时，点也停止运动，他们运动的时间为秒 ．

（1）点的坐标为_____,的坐标为____；
（2）当为何值时，四边形为平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．

（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结BG，当与相似时，求x的值．

【推荐2】如图，中，，，，D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，以为邻边作，设点P运动的时间为．

(1)的长为___________．
(2)当时，求t的值．
(3)当点E落在内部时，求t的取值范围．
(4)连接，当有两个顶点同时落在线段上时，直接写出t的值．

【推荐3】如图13，抛物线y=ax²＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小．若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC外接圆的圆心，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）求证：点D在⊙O上；
（2）在直径AB的延长线上取一点E，使DE²＝BE•AE．
①求证：直线DE为⊙O的切线；
②过点O作OF∥BD交AD于点H，交ED的延长线于点F．若⊙O的半径为5，cos∠DBA＝，求FH的长．

【推荐3】已知是的外接圆，为的直径，交于点，连结并延长交于点，．

(1)如图，求证：；
(2)如图，连结，过点作，垂足为，若，，求的长；
(3)如图，在图的基础上，连结交于点，已知．
求的值；
若，求的面积．