【推荐1】如图，正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接．

(1)求证：．
(2)若，求的值．

【推荐2】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
(2)设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标，请说明理由；
(3) 过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

【推荐3】如图1，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形．
   
(1)求点的坐标；
(2)若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______；
(3)将沿着轴向右平移到处，如图，连接，交于点．判断的形状，并说明理由．

【推荐1】在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．

(1)当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度；
(2)当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，，）

【推荐2】为了测量某段河面的宽度，秋实同学设计了如图所示的测量方案；先在河的北岸选定一点A，再在河的南岸选定相距am的两点B，C，分别测得，.请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD．（结果用含a和α，β的三角函数表示）

【推荐3】如图所示是一幢住房的主视图，已知：，房子前后坡度相等，米，米，设后房檐到地面的高度为米，前房檐到地面的高度米，求的值.