【推荐2】如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则______．
   

【推荐3】如图，矩形的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为____________．

      

【推荐1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．

【推荐2】如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是_________．

【推荐3】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．

【推荐1】如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_________．

【推荐2】把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处，又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为_____，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为_____．

【推荐3】如图，在中，，动点P在上，过的中点D作交的平分线于点Q，当点P沿直线从点B运动至点C时，点Q运动的路径长为_________．

【推荐1】如图是一张矩形纸片ABCD，点E是BC边上的点，现将△ABE沿直线AE翻折，得到，延长交线段AD于点G，再将四边形CDGF沿直线GF翻折，得到四边形，且使点恰好落在线段EG上，交BC于点H，已知AD=6，AB=3，若：=1：2，则tan∠EGF的值为________________．

【推荐2】如图，P为∠MBN内部一定点，PD⊥BN，PD＝3，BD＝5．过点P的直线与BM和BN分别相交于点E和点F，A是BM边上任意一点，过点A作AC⊥BN于点C，有＝3，则△BEF面积的最小值是______．

【推荐3】已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是_______．