【推荐1】如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图，为直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为交于点．

(1)求证：平分；
(2)若，求的直径．

【推荐1】以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
试题分析
（Ⅰ）如图1，在中，，，是外一点，且．求的度数．
小丽：我发现．则点，，到点的距离相等，所以点，，在以点为圆心、线段长为半径的圆上……
猜想证明
（Ⅱ）如图1，在中，，，点，在同侧．
猜想：若___________，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．
对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：
以点为圆心，长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点可能在内，或点在上，或点在外．故只要证明点不在内，也不在外，就可以确定点一定在上．
（Ⅲ）进一步猜想：
如图2，在中，，，点，在同侧．若___________，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．
（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．
问题1．完成（Ⅰ）中的求解过程；
问题2．补全猜想证明中的两个猜想：
（Ⅱ）___________；（Ⅲ）___________．
问题3．证明上面（Ⅲ）中的猜想．
   

【推荐2】如图，以等边三角形的边为直径作，分别交，于点D，E，过点D作，垂足为点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若等边三角形的边长为6，求图中阴影部分面积．

【推荐3】如图，已知．
（1）求作的外接圆（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）如果，求的大小．

【推荐1】如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线交的延长线于点F，垂足为E．

(1)求证：与相切；
(2)若点C是弧的中点，求的度数；
(3)若直径，求的长．

【推荐2】如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

   

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．

【推荐3】如图，是的直径，射线交于点C．

(1)尺规作图：求作的中点D．（保留作图痕迹）
(2)过点D画垂足为E．求证：是的切线．

【推荐2】如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：

(1)当t为何值时，？
(2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值．

【推荐3】在△ABC中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒后,点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似?