【推荐1】综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图，现有一个等腰直角三角形纸板，，，为斜边上的中线，沿把纸板剪开，再将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为，点的对应点为，连接和．试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由，
   
猜想与证明：
(1)请解答老师提出的问题；
(2)如图2，边，的中点分别为，，连接．试判断和之间的数量关系，并加以证明；
探索发现：
(3)如图3，创意小组的同学在前面同学的启发下，连接，发现与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．

【推荐2】综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在中，，点是边上一点，连接平分交于点，点是上一点，连接并延长交于点．求证：．
   
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了和相等，然后又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明．
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当时，可以求的值，请你尝试完成解答．

【推荐1】如图，直线经过点，点，与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）当时，求△CDE的面积；
（3）当沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．

【推荐3】【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN∥BC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使∠BDP＝∠BAC，试说明：DB＝DP．
小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．

【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程．
②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．
【拓展】如图3，过点A的直线MN∥BC， AB＝3 cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．