我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在
中，
、
分别是
、
的中点．
求证：
，
．
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在中，过点
作
，与
的延长线交于点
．可证
______，根据全等三角形对应边相等可得
，然后判断出四边形
是______，根据图形性质可证得，．
(2)【方法迁移】如图2，在四边形
中，
，
，
，为
的中点，
、分别为、
边上的点，若
，
，
，求
的长．
(3)【定理应用】如图3，在中，
，是的中点，是边
上一点，
，延长至点，使
，延长
交于点，直接写出
的值（用含
的式子表示）．
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在
中，、分别是、的中点．求证：
，． 证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在
中，过点作，与的延长线交于点．可证______，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是______，根据图形性质可证得，． (2)【方法迁移】如图2，在四边形
中，，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． (3)【定理应用】如图3，在
中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点，直接写出的值（用含的式子表示）．
更新时间：2023-05-21 14:45:06
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图，在菱形中，
，是对角线
上一点，是线段延长线上一点且
，连接
．
（1）如图，若是线段的中点，连接
，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；
（3）如图，若是线段
延长线上一点，其他条件不变，且
，菱形的周长为
，直接写出
的长度．
中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若
是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若
是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若
是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
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【推荐2】如图1，在中，
，点在上任意一点，连接．
(1)如图1，
，D为中点，
，求的长；
(2)如图2，若
，为的中点，猜想
与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点P为边上一动点，连接
，将线段绕点按顺时针方向旋转
至
，连接
、
，已知
，
，
，当
周长取得最小值时，请直接写出此时的面积．
中，，点在上任意一点，连接．(1)如图1，
，D为中点，，求的长；(2)如图2，若
，为的中点，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，点P为
边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接、，已知，，，当周长取得最小值时，请直接写出此时的面积．
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【推荐1】如图，D是等边三角形ABC边BC上一点，DE//AC交AB于点E，B，B′关于直线DE成轴对称，连接B′E，B′D分别交AC于点F，G．
（1）求证：四边形AEDG是平行四边形；
（2）当四边形AEDG是菱形时，求这个菱形的面积与△ABC的面积之比；
（3）当AB＝6，DE＝2AE时，直接写出四边形AEDG的两条对角线长AD＝ ，EG＝ ．
（1）求证：四边形AEDG是平行四边形；
（2）当四边形AEDG是菱形时，求这个菱形的面积与△ABC的面积之比；
（3）当AB＝6，DE＝2AE时，直接写出四边形AEDG的两条对角线长AD＝ ，EG＝ ．
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【推荐2】综合与实践
数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．
探究展示：
“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：
证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC
AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD．
又∵四边形BEDF是矩形．
∴EF经过点O，
∴OE＝OF＝EF，且EF＝BD．
∴OE＝OF，OA＝OC．
∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）
∵AC＝BD，EF＝BD，
∴AC＝EF．
∴四边形AECF是矩形．（依据2）
∴∠CEA＝90°，即AE⊥CE．
反思交流：
(1)上述证明过程中“依据1”，“依据2”分别是什么？
拓展再探：
(2)“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB＝PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．
(3)“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP＝30°，AE＝
﹣1，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC
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∴EF经过点O，
∴OE＝OF＝
EF，且EF＝BD．∴OE＝OF，OA＝OC．
∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）
∵AC＝BD，EF＝BD，
∴AC＝EF．
∴四边形AECF是矩形．（依据2）
∴∠CEA＝90°，即AE⊥CE．
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(3)“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP＝30°，AE＝
﹣1，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．
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，点E是CD边的中点，连接AE交对角线BD于点F，∠EDF=∠FBA，连接CF．
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【推荐1】已知，BD是菱形ABCD的对角线，△DEF是直角三角形，∠EDF＝90°，∠DEF＝∠A，连接BE，点G是BE的中点，连接CG、BF．
(1)当∠A＝90°时，
①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系 ：
②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：
思路一：连接AC，记A与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．
思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）
(2)当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系 ．
∠A，连接BE，点G是BE的中点，连接CG、BF．(1)当∠A＝90°时，
①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系 ：
②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：
思路一：连接AC，记A与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．
思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）
(2)当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系 ．
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名校
【推荐2】如图，为等边三角形，为平面内任意一点，连接．
(1)如图1，在边上时，将绕点
逆时针旋转
得到，连接，．直接写出与的数量关系为________；直线与所夹锐角为________度；
(2)如图2，在边上时，将绕点逆时针旋转
得到，连接
交于，为边的中点，连接
．猜想与存在的关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，为外一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取，的中点
，
，连接
．试问：
的值是否随图形的旋转而变化?若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
为等边三角形，为平面内任意一点，连接．(1)如图1，
在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接，．直接写出与的数量关系为________；直线与所夹锐角为________度； (2)如图2，
在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接交于，为边的中点，连接．猜想与存在的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，
为外一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取，的中点，，连接．试问：的值是否随图形的旋转而变化?若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
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，点D是
至E，使得
，
．
上有点G，满足
，求证：
．
分别交
时，请直接写出
解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与x轴交于点
，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D．
(2)若点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且
，求点E的坐标；
(3)若P为y轴上的一个动点，连接
，直接写出
的最小值；
(4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接
，设点P的纵坐标为t，当
不小于时，求t的取值范围．
的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D．
(2)若点E是线段
上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标；(3)若P为y轴上的一个动点，连接
，直接写出的最小值；(4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接
，设点P的纵坐标为t，当不小于时，求t的取值范围．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
、
、
为常数且
经过原点
和
，且对称轴为直线
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使
中
边上的高为
？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，设抛物线与
轴的另一交点为，点在抛物线上，满足
，若是直线下方的抛物线上且到的距离最大的点，试求出所有满足
的点
的坐标（点、、分别与点、、
对应）．
、、为常数且经过原点和，且对称轴为直线(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点
，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，设抛物线与
轴的另一交点为，点在抛物线上，满足，若是直线下方的抛物线上且到的距离最大的点，试求出所有满足的点的坐标（点、、分别与点、、对应）．
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