【推荐1】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．

（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若∠DAC=60°，EF=4，求四边形AFCE的面积．

【推荐2】如图，在平行四边形中，，以为直径的交于点，求阴影部分的面积．

【推荐3】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE⊥AB，且BE＝AE．求证：DC＝2BD．

【推荐2】在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动，将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图2），当点与点重合时停止平移．
   
(1)图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
(2)当纸片平移到某一位置时，小敏发现四边形为矩形（如图3），求的长．

【推荐3】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
【思想应用】
（1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，设．
①用含a的代数式表示______，用含的代数式表示______．
②据此写出的最小值：______．
【类比应用】
（2）根据上述方法，求代数式的最小值．
   

【推荐1】如图，是的直径，点A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接，，，且．
   
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，作的平分线交于点P，交于点E，连接、，若，求的值．

【推荐2】如图，为的直径，弦，平分，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为点G，连接DE，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，，求BE的长．

【推荐1】如图，从外一点作的切线，，切点分别为，，的直径为，连结，．

求证：；
求的值；
若，求劣弧的长．

【推荐2】探究（一）：如图1，在中，，D是上一点（不与A，B重合），交于点E，连接．设的面积为S，的面积为．
   
（1）当时，______，______．
（2）设，请你用含字母的代数式表示．
探究（二）：如图2，在四边形中，，，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连接，设，四边形的面积为S，的面积为．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

【推荐3】如图，在矩形中，点E在边上，，的平分线交于点G，交于点F．

(1)若点E为中点，求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求证：；