如图1，
为等边
的外接圆，半径为
，点D在劣弧
上运动（不与点A、B重合），连结
．
(1)求证：
是
的平分线：
(2)探究三者之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，延长
至点E，使
，点F为线段
上一点，且
．
①求线段
的长的最小值；
②设点G为
的交点，当线段的长取得最小值时，求线段
的长．
为等边的外接圆，半径为，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连结．(1)求证：
是的平分线：(2)探究
三者之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)如图2，延长
至点E，使，点F为线段上一点，且．①求线段
的长的最小值；②设点G为
的交点，当线段的长取得最小值时，求线段的长．
更新时间：2023-05-30 21:12:04
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，
为等边三角形，点
在第二象限，点
在
轴负半轴上，
为直角三角形，点
在
轴正半轴上，点
在轴正半轴上，
，
，
．
(1)如图①，求点的坐标；
(2)将沿轴向右平移，得到
，点，，
的对应点分别为
，
，
，设
，与重叠部分的面积为
．
①如图②，当与重叠的部分为四边形时，
与相交于点
，试用含有
的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当
时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
为等边三角形，点在第二象限，点在轴负半轴上，为直角三角形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，．(1)如图①，求点
的坐标；(2)将
沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与重叠部分的面积为．①如图②，当
与重叠的部分为四边形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②当
时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
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(0.4)
【推荐2】如图1，是等边三角形，
(1)
是边
延长线上一点，连接
交的外接圆于点，延长
至
，使得
，连接
，
①猜想
的形状，并证明你的结论；
②若
，求的长度．
(2)如图2，
是等边与
的公共边，且
，连接
，请探究
三条线段的数量关系．
是等边三角形， (1)
是边延长线上一点，连接交的外接圆于点，延长至，使得，连接，①猜想
的形状，并证明你的结论；②若
，求的长度．(2)如图2，
是等边与的公共边，且，连接，请探究三条线段的数量关系．
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的中点，过点D作
交弦
，连接
，
的度数；
，
，求
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(0.4)
【推荐1】如图，已知正方形
，点是边上一点，将
沿直线
折叠，点落在
处，连接并延长，与
的平分线相交于点
，与，分别相交于点
，，连接
．
(1)求证：
；
(2)当点在边上（端点除外）运动时，求
的大小？
(3)若
，
，求点到直线
的距离；
，点是边上一点，将沿直线折叠，点落在处，连接并延长，与的平分线相交于点，与，分别相交于点，，连接． (1)求证：
；(2)当点
在边上（端点除外）运动时，求的大小？(3)若
，，求点到直线的距离；
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(0.4)
【推荐2】在正方形ABCD中，点F在射线AD上（不与A、D重合），连接CF，以CF为对角线作正方形CEFG（C，E，F，G按逆时针排列），连接BE，DG．
(1)如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；
(2)由正方形的性质可知∠CDF＝∠CGF＝90°，即D，G两点均在以CF为直径的同一个圆上．
①请直接回答：∠CDG＝ °；
②如备用图，当点F在线段AD上时，判断CD、FD、BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
③当点F在线段AD延长线上时，请在备用图2作出图形，直接写出CD、FD、BE三条线段之间的数量关系．
(1)如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；
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①请直接回答：∠CDG＝ °；
②如备用图，当点F在线段AD上时，判断CD、FD、BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
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，F是
．求证：
；
之间的等量关系，并请说明理由：
，
，求正方形
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初步探索
（1）如图
，，分别是正方形的边和边上的点，并且
，我们可通过如下方法探索
与
和
之间的数量关系：
因为
，
，所以我们以点为旋转中心，将
绕点顺时针旋转
，使得点与点重合，则点的对应点恰好落在
的延长线上，记为点
，由
且易证
，从而可知，，，的数量关系是______．
探索延伸
（2）如图
，，是等腰直角
的底边上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
（3）如图
，在矩形中，是边的三等分点，为边上的点，且，当
，
时，直接写出的长．
初步探索
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，，分别是正方形的边和边上的点，并且，我们可通过如下方法探索与和之间的数量关系：因为
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，，是等腰直角的底边上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．拓展应用
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【推荐2】在中，
，
，
，点D在边AB上，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形
，设点P运动的时间为秒，正方形与重叠部分的面积为．
（1）用含有的代数式表示线段
的长．
（2）当点落在的边上时，求的值．
（3）求与的函数关系式．
（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点
，当与的某一个顶点的连线平分的面积时，求的值．
中，，，，点D在边AB上，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形，设点P运动的时间为秒，正方形与重叠部分的面积为．（1）用含有
的代数式表示线段的长．（2）当点
落在的边上时，求的值．（3）求
与的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点
，当与的某一个顶点的连线平分的面积时，求的值．
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经过A，B两点与x轴相交于点C点．
时，请直接写出点M的坐标．
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【推荐1】
是等腰直角三角形，且
，
，直线
经过点，且
，点
是斜边上一点，点是直线上的一点，连接，将射线绕点顺时针旋转90°得射线
，射线交直线于点．
（1）如图1，当点在射线上，且点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系：_________．
（2）如图2，当点在射线上，且点不是的中点时，试判断三条线段
，和的数量关系，并说明理由．
（3）当
，且
时，请直接写出线段的长．
是等腰直角三角形，且，，直线经过点，且，点是斜边上一点，点是直线上的一点，连接，将射线绕点顺时针旋转90°得射线，射线交直线于点．（1）如图1，当点
在射线上，且点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系：_________．（2）如图2，当点
在射线上，且点不是的中点时，试判断三条线段，和的数量关系，并说明理由．（3）当
，且时，请直接写出线段的长．
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(0.4)
名校
【推荐2】在平面直角坐标系
中，已知二次函数
的图象与轴交于，两点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
（
）与轴交于
，
两点（点在点的左侧），与轴交于点，点
，连接
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段
上一点，过点作
轴，交抛物线于点
，交线段于点，点是直线上一点，连接
，
，当
的周长最大时，点的坐标为
，周长的最大值为______．
(3)如图2，已知
．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点，连接
，当
是等腰三角形时，抛物线的平移距离d的值为______．
中，已知二次函数的图象与轴交于，两点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点，连接．(1)求抛物线的解析式；
(2)点
是线段上一点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点，点是直线上一点，连接，，当的周长最大时，点的坐标为，周长的最大值为______．(3)如图2，已知
．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点，连接，当是等腰三角形时，抛物线的平移距离d的值为______．
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