【推荐1】已知抛物线（a，b，c是常数，，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C．动点P和Q以相同的速度从坐标原点O同时出发，分别在线段上向点B，C方向运动．
(1)若；
①求点D的坐标；
②过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，当四边形为矩形时，求点E的坐标：
(2)若点，过点C作直线l平行于x轴，直线l与抛物线交于点F（不与点C重合），连接，当的最小值为时，求点F，Q的坐标．

【推荐2】已知抛物线与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且过和两点．
   
(1)求二次函数的解析式；
(2)抛物线的对称轴是______；开口方向是______；
(3)已知点在抛物线上，设的面积为S，请在图中画出S与t的函数图象，并利用函数图象判断S是否存在最大值．

【推荐3】已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接为的中点，，在的同侧以为中心旋转，交轴于点，交轴于点。设的长为，的长为，求和之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当四边形的面积的值最大时，抛物线与轴相交于点，与轴负半轴相交于点，若为直角三角形，求的值.
（参考公式：均值不等式：若，则，当且仅当时取“=”.）

【推荐1】综合与探究
如图，抛物线经过，，三点，与y轴交于点C，作直线．

(1)求抛物线和直线的函数解析式．
(2)D是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点D的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使．

(1)求线段OC的长；
(2)求该抛物线的函数关系式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的负半轴交于点C，D、E为直线上的动点，且点D一直在点E的左侧，，，，，．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，当四边形与抛物线有公共点时，求点D横坐标m的取值范围；
(3)当以A，E，F为顶点的三角形为等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．

【推荐2】如图，抛物线交x轴于点A和点B（A在B左边），与y轴交于点C，P是抛物线上第一象限内的一个动点

   

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)连接交线段于点D，当与x轴不平行时，的最大值           ；
(3)若直线交于点M，是否存在这样的点P，使以B、O、M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

   

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和点B，与y轴交于点C（0,），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在，请求出对应的t的值;如果不存在，请说明理由.
（3）在y轴上有两点M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.