【推荐1】[操作]如图1．是等腰直角三角形，，D是其内部的一点，连接．将绕点（顺时针旋转90°得到，连接，作直线交于点F．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)[探究]如图2，连接图1中的，分别取的中点M、N、P，作．若，则的周长为　　　　

【推荐2】如图，正方形ABCD，点E是BC边上的动点，点F在DE延长线上，连接AF、BF．

(1)若．
①求证：FA平分∠DFB；
②连接FC，用等式表示线段BF、FC与AF之间的数量关系，并说明理由；
(2)若BF＝1，DF＝2，求AF的最大值．

【推荐1】实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：

(1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由；
(2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论；
(3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系；
(4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．

【推荐2】已知：为的直径，弦垂直平分于，连接、．

（1）如图1，求证，为等边三角形．
（2）如图2，为弧上一点，连接、、，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，点为、的交点，为延长线上一点，连接交于，连接，若平分，，，求弦的长．