【推荐1】如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请利用格点和用无刻度直尺完成下面的作图（非尺规作图，请保留作图痕迹）．
(1)在图①中，作的高线BD；

(2)在图②中，作的中线BE．

【推荐2】如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．

【推荐1】问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）

（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程．
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

【推荐2】如图，四边形中，，，，，求，的长．
   

【推荐3】如图，已知，垂足为点B，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接，

(1)线段______；
(2)求线段的长度．

【推荐1】如图，四边形中，对角线相交于点O，，且．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的长．

【推荐3】门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O为正六边形 ABCDEF的中心．
　　
（1）请用无刻度直尺与圆规，过点O作一个⊙P，使⊙P与直线AF和直线AB同时相切．（请保留作图痕迹）
（2）若正六边形 ABCDEF E的边长为18cm，试求（1）中⊙P的半径．（结果保留根号）

【推荐1】在湘教版八年级下册数学教材第66页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直
【结论运用】

   

(1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是        ；
(2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接．求证：；
(3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则        度．（直接写出答案）