【推荐1】如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)在图（1）中，画出的中线AE；
(2)在图（2）中，画出的角平分线AF．

【推荐2】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

（1）ABC的面积为________．
（2）在图①中，作出的重心O．
（3）在图②中，在的边AC上找一点F，连结BF，使的面积为．

【推荐3】已知中，点为的中点，以为底边的等腰按如图所示位置摆放，且．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
如图①，在上求作一点，使四边形为菱形；
如图②，过点作线段使得线段将的面积平分．

【推荐1】如图，是的外接圆，分别过A，C作，．

(1)求证：；
(2)若．
①求证：是的切线；
②已知，当四边形的某条边所在直线过圆心O时，求的半径．

【推荐2】在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB<AC，M 是 BC 边的中点，MN⊥BC交 AC 于点 N，动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动．同时， 动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C 运动，且始终保持 MQ⊥MP． 一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为 t 秒(t>0)．
(1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4 cm．
①求动点 Q 的运动速度；
②设△APQ 的面积为 s(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式．（不必写出 t 的取值范围）
(3)探求 BP²、PQ²、CQ² 三者之间的数量关系，请说明理由．

【推荐3】图①、图②、图③都是由8个大小完全相同的矩形拼成无重叠、无缝隙的图形，每个小矩形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上. 仅用无刻度的直尺分别在下列方框内完成作图，保留作图痕迹.
        
(1)在图①中，作线段的一条垂线，点、在格点上.
(2)在图②、图③中，以为边，另外两个顶点在格点上，各画一个平行四边形，所画的两个平行四边形不完全重合.

【推荐1】回归课本，完成证明
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D、E分别是、边的中点．

(1)求证：______________
(2)证明：延长至点F，使得，连接．

【推荐2】如图，的中线，相交于点G，已知点P，Q分别是，的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，请判断与的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图，已知四边形中，分别为上的点(不与端点重合)．
（1）若分别为的中点．求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，根据题意填空：若四边形的对角线和满足           时，四边形是矩形；若四边形的对角线和满足           时，四边形是菱形；若四边形的对角线和满足          时，四边形是正方形．
（3）判断对错：
①若已知的四边形是任意矩形，则存在无数个四边形是菱形；（       ）
②若已知的四边形是任意矩形，则至少存在一个四边形是正方形．（       ）

【推荐1】如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接交于点F，过点F作，交于点G．求的长．
   

【推荐2】如图，已知，，为射线上两点，且．

(1)求作菱形，使得点在射线上(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接，交于点，交于在（1）的条件下，求证：．

【推荐3】如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，时，求的长．