【推荐1】如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．

【推荐2】已知：在中，，，点为的中点.
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，点为上一点，连接并延长至点，连接，过点作，垂足为点，若，探究与之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，在上取点，连接，使得，将线段沿着折叠并延长交于点，当，时，求的长.

【推荐3】在等腰直角三角形ABC中，，，交BC于点F，过F作交BE的延长线于点G，求证：.

【推荐1】如图，在中，，为边上的中线，于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．

【推荐2】如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求的长．

【推荐3】如图，在中，，点在边上（不与，重合），连接，．

(1)设，．
①当时，求β．
②请求出β与α的数量关系．
(2)若，，求的长．

【推荐1】如图，在中，，点是内一点，将绕点逆时针旋转后能与重合，如果，求的长．
   

【推荐2】建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

(1)求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
(2)求建筑物MN的高度．

【推荐3】如图，在中，，点是的中点，连接，作，，与交于点，连接交于点．

(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，，求菱形的面积．

【推荐1】请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．

【推荐2】如图，已知．
   
(1)作的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)在线段的上方作弦，使，连结，求证：．

【推荐3】如图，是的直径，四边形内接于，连接交于点E，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．