【推荐1】在等腰中，，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接．

(1)如图，当点落在的延长线上时，连接，若，求；
(2)如图，取的中点，连接，当时，求证：；
(3)如图，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得到．连接、，若，请直接写出的最小值．

【推荐2】在等腰直角三角形中，，，点为直线上一个动点，绕点将射线逆时针旋转，交直线于点．

在图1中，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，，，
又，，．
请阅读上述过程，并完成以下问题：
(1)得出的依据是______（填序号）．
①     ②     ③     ④
(2)在以上条件下，如图2，当点在线段的延长线上时，求证：．
(3)在等边三角形中，，点为射线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当为直角三角形时，请直接写出的长．

【推荐1】【操作发现】（1）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．如果将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连结，此时___________；
【问题解决】（2）在某次数学兴趣小组活动中，小宇和同学遇到了如下问题：如图②，在等边中，点P在内部，且，．求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】（3）如图③，在等边中，，点P在内，，．求的面积；
【思维拓展】（4）如图④，在四边形中，，垂足为E，，，，（k为常数），请直接写出的长（用含k的式子表示）．

【推荐2】如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将绕点P顺时针旋转90°得到，设点P的运动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示线段的长度为______．
(2)当点N落在直线BC上时，求t的值．
(3)连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与的某条边的长度相等时，求t的值．
(4)当与重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，在正方形中，连接，点是边上一点（不与、重合），将绕点顺时针旋转90°得到，连接，分别交、于点、．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，当点是边的中点时，求的值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知的半径为1，点在上．对于点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度（），得到，再将点P关于直线对称得到点Q，则称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．

(1)已知点，．
①若点M的坐标为，直接写出点的坐标，并画出点P的2倍“对应点”Q；
②求线段长的取值范围；
(2)当时，若，点Q为点P的k倍“对应点”，连接，当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的和（用含k的式子表示）．

【推荐2】在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点，，在一条直线上，连接，（如图1）．

(1)在图1的基础上，将正方形绕着点沿顺时针方向旋转，如图2所示，求证：且．
(2)如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
(3)在（2）的条件下，若，，矩形在顺时针旋转过程中，当点，，在同一直线时，请直接写出的值．

【推荐1】如图，为的直径，弦，相交于点，且于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若的半径为5，点是的中点，，写出求线段长的思路．

【推荐3】如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切．
（1）求证：AD+BC=CD；
（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin∠DCF．