【推荐1】如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线．
   
(1)求a的值．
(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值．

【推荐2】如图，抛物线经过点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若函数在时有最大值为4，求m的值；
(3)点M在直线上方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点M的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、．抛物线过、两点．
   
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点从点出发．沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒．过点作交于点．
①过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段最长？
②连接．在点、运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的值．

【推荐1】如图，抛物线与轴相交于两点（左右），交轴于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第四象限抛物线上，连接交轴于点，设的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，把沿轴翻折得到，交抛物线于，过点作轴的平行线，交的延长线于点，连接并延长交射线于点，若，求点的坐标．

【推荐3】如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A（，3），AC⊥OA与x轴的交点为C．动点M以每秒个单位长度由点A向点O运动．同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．
（1）写出∠AOC的值；
（2）用t表示出四边形AMNC的面积；
（3）求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？

【推荐1】如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax²﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【推荐2】如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，抛物线交y轴于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点．直线y＝x－1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP＝EQ，求点P的坐标．

【推荐3】如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，且．

       

(1)求抛物线的函数表达式：
(2)如图，点是抛物线顶点，点是在第二象限抛物线上的一点，分别连接、、，若，求的值；
(3)如图，若的角平分线交轴于点，过点的直线分别交射线、于点、（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．

【推荐1】若二次函数的图象与轴分别交于点、，且过点.
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且,求点的坐标；
（3）在抛物线上（下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，-3），∠ACB=90°，过A，B，C三点作⊙，连接AC，BC．

(1)求⊙的圆心的坐标；
(2)点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求点A，C的坐标；
(2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标；
(3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．