【推荐1】问题提出

（1）如图①，点是半径为1的上任意一点，点为外一点，且，则线段的最小值为______；
问题探究
（2）如图②，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值；
问题解决
（3）如图③，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足，交于点，连接，求线段的最小值．

【推荐3】如①，在矩形中，，，点是上一点．
   
(1)将沿折叠后，点 A正好落在边上的点处，求线段的长；
(2)如②，延长①中线段至，使，以、为两邻边作，连接交于．求证：点为的中点；
(3)如③，在（2）的条件下，连接交于点，连接、，试判断与之间的数量关系并证明．

【推荐1】【数学初探】
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角画出一个菱形，使为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．

(1)请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将的中线BO延长至点D，使，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．
(2)请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并小心求证．
【迁移应用】
(3)如图4，在（2）的条件下，若，且时，求的值．

【推荐3】定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．

(1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________．
(2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线．
(3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积．

【推荐3】在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，在中，，，点D是边上一点，，过点D作交于点E，将绕点A逆时针方向旋转．

(1)将旋转至如图2的位置时，连接、．求证：；
(2)若将旋转至B、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长．