【推荐1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径， OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

【推荐2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、O、P都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图中上方作以为斜边的等腰直角；
(2)连接，过O作，垂足为H；
(3)请你在图中下方找点Q，使，且平分．

【推荐3】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，请你根据以下步骤完成其中第二个引理的作图及证明过程．
如图，已知，是弦上一点．
   
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点，于点，连接，；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接，，．
(2)可得引理的结论为
证明：∵是的垂直平分线，
∴．（其依据是________）
∴，
∴，
∵
∴，
∴，（其依据是________）
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，（其依据是________）
∵，
∴，
∵，
∴
∴．

【推荐1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB＝∠ADB．
（1）求证：PA为⊙O的切线．
（2）若AB＝6，tan∠ADB＝，求PB的长．

【推荐2】如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数；
(3)如果BE=13，，求⊙O的半径．

【推荐3】如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长．

【推荐1】已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为　　　　　　（直接写出答案）

【推荐2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B．过点A的直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D是x轴上一动点，当△ABD与△ABC相似时，求点D坐标．

【推荐3】在四边形中，，，，对角线与相交于点，线段、的中点分别为点、．

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若直线与线段、分别相交于点、，的面积为2，求四边形的面积．

【推荐1】下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图1，和外一点．
求作：过点的的切线．
作法：如图2，
①连结，作线段的中点；
②以为圆心，的长为半径作圆，交于点；
③作直线和，直线即为所求作的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（_____________）（填推理的依据），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据），
同理，直线也是圆的切线．