【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．
（1）设BC与AO相交于点D，
①若BA＝BO，求证：CD＝CO；
②求：点A到直线l的距离；
（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，，且，求证：，，三点共线；
(3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

【推荐2】如图，在△ABC中，，AB=AC，于点D．

(1)如图1，点E、F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF．
(2)点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．
①当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知，直接写出线段DM的长．
②如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：．

【推荐3】如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）
   
(1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________；
(2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：．
(3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，，，线段的垂直平分线分别交、于点C、D，其中点D的坐标为．

   

(1)求直线的解析式；
(2)求线段的长；
(3)点E为y轴上一个动点，当为等腰三角形时，求E点的坐标．

【推荐2】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．
操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；

(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；

(3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，在中，点D在边上，若满足，则称点P是点D的“和谐点”．

​

(1)如图2，．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，C，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．
①若，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出长的取值范围是           ．

【推荐1】（1）如图1，在中，，，点D，E分别在边CA，CB上，且，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是_______，线段CF和线段BD的数量关系为______．

（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为________．

【推荐2】如图①，在半径为6的扇形AOB中，，点C是弧AB上的一个动点（不与点、重合），、，垂足分别为D、E．

（1）①当时，线段           ；
②当的度数=          °时，四边形成为菱形；
（2）试说明：四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）如图②，过点作，垂足为，连接，随着点的运动，在△中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；
（4）在（3）条件下，若点从点运动到点，则点的运动路径长为       ．

【推荐3】如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．
   
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．