如图1，在
中，点D在边
上，若满足
，则称点P是点D的“和谐点”．
．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边
上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系
，C
，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．
①若
，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出
长的取值范围是 ．
中，点D在边上，若满足，则称点P是点D的“和谐点”．
．①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边
上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）(2)如图3，以点A为原点，
为x轴正方向建立平面直角坐标系，C，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．①若
，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出
长的取值范围是 ．
23-24九年级上·江苏盐城·期末 查看更多[6]
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更新时间：2024-03-18 15:24:01
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(0.4)
【推荐1】如图，顶点M在y轴上的抛物线y＝ax2+c与直线y＝x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由；
(3)若将（1）中的抛物线沿y轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点（﹣2，﹣3）？
(1)求抛物线对应的函数表达式；
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解题方法
【推荐2】如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
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【推荐3】(1)问题发现：
如图①，在平面直角坐标系中，已知点
和点
则线段的长为______；
(2)问题探究：
如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，
为等边三角形，点A在第一象限，点
在线段
上，点M，N分别是边
，上两点，求
周长的最小值．
（提示：在直角三角形中，
角所对的直角边是斜边的一半．）
(3)问题解决：
为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地
上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点
，点A，C在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形
，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求N，P在边
上，M在
上，且
．请问是否存在点P，N，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
如图①，在平面直角坐标系中，已知点
和点则线段的长为______；(2)问题探究：
如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，为等边三角形，点A在第一象限，点在线段上，点M，N分别是边，上两点，求周长的最小值．（提示：在直角三角形中，
角所对的直角边是斜边的一半．）(3)问题解决：
为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地
上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点，点A，C在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求N，P在边上，M在上，且．请问是否存在点P，N，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
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【推荐1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．
（1）求证：CD2＝DG•DA；
（2）如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；
（3）如图2，若GC＝2，GE＝2
，求GD．
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【推荐2】二次函数y=ax²-6ax+c（a＞0）的图像抛物线过点C（0,4），设抛物线的顶点为D．
（1）若抛物线经过点（1，-6），求二次函数的解析式；
（2）若a=1时，试判断抛物线与x轴交点的个数；
（3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5．且抛物线过点A(x1,y1),B(x2,y2),并有AD=BD．设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若＜a≤1时，请判断∠AEB与∠ADB的大小关系，并说明理由．
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（3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5．且抛物线过点A(x1,y1),B(x2,y2),并有AD=BD．设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若＜a≤1时，请判断∠AEB与∠ADB的大小关系，并说明理由．
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为
的直径，A、B为
，且
．
；
上两点，满足
，连接
，取
中点H，连接
，请猜测
与
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(0.4)
【推荐1】如图，已知为
斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连结
，过点
作
于点F，交AB、AD于
、
两点.
（1）证明：
（2）若
，
，求
的长.
（3）若
，且
，且线段BF与EF的长是关于
的一元二次方程
的两个实数根，求的长.
为斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连结，过点作于点F，交AB、AD于、两点.（1）证明：
（2）若
，，求的长.（3）若
，且，且线段BF与EF的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长.
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【推荐2】【知识回顾】
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】
将下列的定理证明补充完整：
已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC中点，连结DE．
求证：
证明：
【定理应用】
如图②，在△ABC中，AB＝10，∠ABC＝60°，点P、Q分别是边AC、BC的中点，连结PQ．
（1）线段PQ的长为 ．
（2）以点C为一个端点作线段CD（CD与AB不平行），连结AD，取AD的中点M，连结PM、QM．
①在图②中补全图形．
②当∠PQM＝∠PMQ时，求CD的长．
③在②的条件下，当△PQM面积最大时，直接写出∠BCD的度数．
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】
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求证：
证明：
【定理应用】
如图②，在△ABC中，AB＝10，∠ABC＝60°，点P、Q分别是边AC、BC的中点，连结PQ．
（1）线段PQ的长为 ．
（2）以点C为一个端点作线段CD（CD与AB不平行），连结AD，取AD的中点M，连结PM、QM．
①在图②中补全图形．
②当∠PQM＝∠PMQ时，求CD的长．
③在②的条件下，当△PQM面积最大时，直接写出∠BCD的度数．
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与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足
为直角，且使
．
是以
为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
