综合与实践：
操作发现：
如图1，在
纸片中，
，
于点
．
第一步：将一张与其全等的纸片，沿
剪开；
第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为
和
；
第三步：分别延长
和
相交于点
．
（1）求证：四边形
是正方形；
拓广探索：
（2）如图3，连接
分别交
，
于点
，在四边形外作
，使得
，
，判断线段
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
操作发现：
如图1，在
纸片中，，于点．第一步：将一张与其全等的纸片，沿
剪开；第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和
拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为和；第三步：分别延长
和相交于点． （1）求证：四边形
是正方形；拓广探索：
（2）如图3，连接
分别交，于点，在四边形外作，使得，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
更新时间：2023-07-10 10:34:10
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【推荐1】已知：如图，点E为
中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，猜想：AB与OF的关系，并证明你的结论．
中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，猜想：AB与OF的关系，并证明你的结论．
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(0.4)
【推荐2】在平面直角坐标系中，点
，点
均在坐标轴上，点
是
轴负半轴上的一动点，连接
，
．
的面积为
，在线段
上存在点
；
①如图1，填空：
的面积为______，点的坐标为______；
②如图2，点
在轴负半轴上．连接
，
，若
，求点坐标；
(2)如图3，若
，在第四象限内有一动点
，连接
，
，
，且
．求证
．
，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，．
的面积为，在线段上存在点；①如图1，填空：
的面积为______，点的坐标为______；②如图2，点
在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标；(2)如图3，若
，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证．
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的度数；
，点
是
．
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【推荐1】请阅读下面材料，并按要求完成相应的任务.
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子. 《阿基米德全集》的《引论集》中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在中，
，以为直径作半圆O，交于点D，过点D作
于点E，过点D作半圆O的切线
交
于点T，连接
交
于点F，则
.
任务：
(1)请完成该引理的证明；
(2)若
，求半圆O的半径.
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子. 《阿基米德全集》的《引论集》中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在
中，，以为直径作半圆O，交于点D，过点D作于点E，过点D作半圆O的切线交于点T，连接交于点F，则.任务：
(1)请完成该引理的证明；
(2)若
，求半圆O的半径.
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【推荐2】已知：在中，
，
，点D在边AB上，且
，点E是边AC上一动点，将
沿DE折叠得到
，点A的对应点为点F．
(1)如图1，若CD平分
，DF交AC于点G．
①求证：
；
②当
时，求
的值；
(2)如图2，若点E为AC中点，且
，求CD的长．
中，，，点D在边AB上，且，点E是边AC上一动点，将沿DE折叠得到，点A的对应点为点F．(1)如图1，若CD平分
，DF交AC于点G．①求证：
；②当
时，求的值；(2)如图2，若点E为AC中点，且
，求CD的长．
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与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
，求k的值；
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【推荐1】[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)[结论应用]如图2，直角三角形
纸片中，
，点D是边上的中点，连接
，将
沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有
．若
，那么
．
(3)如图3，在中，是边上的高线，
是边上的中线，G是的中点，
．若
，则
．
例2 如图，在 中， ，是斜边上的中线．求证：  ．证明：延长 至点E，使 ，连接 ． |
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)[结论应用]如图2，直角三角形
纸片中，，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么 ．(3)如图3，在
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【推荐2】已知，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，O为对角线BD的中点，P为AD上一点，连接PO，以O为圆心，OP为半径画圆O．
(1)如图1，当点P为AD中点时，圆O与AD的位置关系为________，OP的长为______；
(2)如图2，当圆O与AB相切，且AP＜PD时，求PD的长；
(3)延长BA到E，使得AE=AB，连接DE，当圆O与△BDE有4个交点时，直接写出圆O的半径r的取值范围．
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：
与
轴、
、
两点，二次函数
的图像经过点
是抛物线上的一个动点，经过点
，交直线
，垂足为
．设点
．
，求
绕点
，且旋转角
．当点
落在坐标轴上时，求
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【推荐1】在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
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【推荐2】（1）已知：在矩形
中，E是边上的一点，
，
．
①如图1，若
，则______
；（填写“
”“
”或“
”）
②如图2，若
，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）已知：在中，E是边上的一点，
．
①如图3，若
，，求证：
；
②如图4，若
，
，
，请直接写出 的长．
中，E是边上的一点，，．①如图1，若
，则______；（填写“”“”或“”）②如图2，若
，判断与的数量关系，并说明理由；（2）已知：在
中，E是边上的一点，．①如图3，若
，，求证：； ②如图4，若
，，，请的长．
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于点F，
于点H．
，
，求正方形ABCD的边长；
