【推荐1】如图1，在直角坐标系xoy中，点A、B分别在x、y轴的正半轴上，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点为点C．
   
（1）若A（6，0），B（0，4），求点C的坐标；
（2）以B为直角顶点，以AB和OB为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBE，连DE交y轴于点M，当点A和点B分别在x、y轴的正半轴上运动时，判断并证明AO与MB的数量关系．

【推荐2】在平面直角坐标系中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称M，N两点相互等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点，已知点A的坐标是．

(1)如图①，在点中，点A的等垂点是      （选填“B”“C”或“D”）．
(2)如图②，若一次函数的图像上存在点A的等垂点，求点的坐标；
(3)若一次函数的图象上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式                                       ．

【推荐3】如图，在等腰中，，，点D，E分别在边，上，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段．

(1)如图1，若，点E与点C重合，与相交于点O．求证：．
(2)如图2，若，，连接，求的长．
(3)如图3，若，且点A、E、F共线时，请补全图形，并请直接写出的长．

【推荐1】已知为圆的直径，为圆上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交圆于点．
   
(1)如图，求证：平分；
(2)如图，若，，过作交圆于点，连接，求圆半径和．

【推荐2】问题背景：
一次数学综合实践活动课上， 小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，
已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图（2），过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
   
(1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图②证明；
(2)基础训练：如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为       ．
(3)拓展升华：如图④，中，，，平分，的中垂线交延长线于点，当时，       ．

【推荐3】定义：如果三角形的两个与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．

   

(1)若是“奇妙互余三角形”，，，则的度数为______；
(2)如图1，在中，，若，点D是线段上的一点，若，判断是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；
(3)如图2，在四边形中，是对角线，，，若，且是“奇妙互余三角形”，求的长．

【推荐1】如图（1）所示，已知在中，，在边上，点是边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点．

   

(1)如果，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长；
(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．

【推荐2】已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．

(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．

【推荐3】AD是△ABC的中线，G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于E，交射线AC于点F，设AE＝xAB，AF＝yAC（x、y≠0）．
（1）如图1，若点G与D重合，△ABC为等边三角形，且∠BDE＝30°，证明：△AEF∽△DEA；
（2）如图2，若点G与D重合，证明：＝2；
（3）如图3，若AG＝nAD，x＝，y＝，直接写出n的值．

【推荐1】如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．

(1)用等式表示线段与的数量关系是_______；
(2)将图1中的绕点按逆时针旋转，点仍是的中点，连接、．写出与的数量关系并证明．