【推荐3】【发现问题】
在学习第六章《实数》数学活动时，同学们进行了“动手制作正方体纸盒”的活动．活动方案如下：首先根据正方体的表面积求出棱长；其次在纸上画出与棱长相等的线段；最后制作出这个正方体．爱思考的小强发现正方体的棱长会随着它的表面积变化而变化；棱长有时会是无理数．
【提出问题】
正方体的棱长与它的表面积之间有怎样的数量关系？
棱长是无理数时，不能用刻度尺直接表示，该如何画出与棱长相等的线段呢？
【分析问题】
小强经历了以下一系列的计算和实际操作，并通过由数到形、由特殊到一般的方法探究了这两个问题．请你完成下面的探究：
（1）①当正方体的表面积是：时，它的棱长是 　　　；
②当正方体的表面积是时，它的棱长是 　　　；
③当正方体的表面积是时，它的棱长是 　　　．（用含的式子表示）
（2）小强设计了以下的方案，得到边长为无理数的线段．
将正方形和正方形如下图摆放，其中，，共线，在边上截取，把和分别旋转到和，此时，，，共线，连接，，得到新正方形．根据新正方形的面积，通过开平方得到边长为无理数的线段．
①如图1，当，时，新正方形的面积是 　　　；
②如图2，当，时，新正方形的面积是 　　　；
③当正方形和正方形的面积同时扩大倍（为正整数），则新正方形的边长扩大　　 倍．（用含的式子表示）

   

【解决问题】
（3）小丽想用一块面积为的长方形纸片，沿着边的方向裁出两个相邻的正方形纸片，如图3，再经历（2）的剪拼操作得到新正方形的面积为．已知长方形纸片的长宽之比为，裁出两个相邻的正方形纸片边长比为．请你通过计算判断小丽能用这块长方形纸片裁出并剪拼得到符合要求的纸片吗？（）

【推荐2】（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）．
（2）观查下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49=　 　；
②1+3+5…+（2n+1）=　 　．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．

【推荐3】鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．
      
(1)求自动扶梯的长度；
(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）

【推荐1】在平面直角坐标系中，对于点，如果点满足条件：以线段为对角线的正方形，且正方形的边分别与轴，轴平行，那么称点为点的“和谐点”，如下图所示．
已知点，，．

（）已知点的坐标是．
①在，，中，是点的“和谐点”的是__________．
②已知点的坐标为，如果点为点的“和谐点”，求的值；
（）已知点，如果线段上存在一个点，使得点是点的“和谐点”，直接写出的取值范围．