【推荐1】如图1所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，连接，平分交于点F，直线l过点F与线段的延长线交于点E．且满足．

(1)求证：直线l是的切线；
(2)如图2所示，若点D是弧的中点．延长交直线l于点G，且；
①求证：；②若，，求四边形的周长．

【推荐2】如图，内接于．为直径，过作，交的延长线于点，过作的切线交于点．

   

(1)求证：；
(2)若的半径为4，，求的长．

【推荐3】如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点．
   
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）．

【推荐1】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于D，过D作⊙O的切线DE交BC于E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AB=5，BE＝4，求AD的长．

【推荐2】如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．
（1）求证：BE²=EG•EA；
（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．

【推荐3】已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且．

   

(1)求证：；
(2)如果，求证：．

【推荐1】某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．

(1)如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）；
(2)如图2，当时，连接，．求点C到桌面的距离（结果保留根号）；
(3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离．

【推荐2】如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F．

   

(1)求证：直线为的切线；
(2)当，时，求的长．

【推荐3】1400多年前，我国隋代建造的石拱桥——赵州桥(如图(1))，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．如图(2)是它的简化示意图，主桥拱是，拱高(的中点到弦的距离)为．

（1）在图(2)中(点为圆心)，用尺规作图作出的中点．(不要求写作法，但保留作图痕迹)
（2）若，求主桥拱的跨度的长．(结果精确到参考数据：)