综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题：已知矩形
，
，点
，
分别是边
，
上的点，将矩形沿
，
所在的直线折叠，使得点
落在点
处，点
恰好落在
上的点
处．
(1)如图
，当点在边上时，则
______ 
，
______ ；
(2)如图
，在图的基础上，延长
交
于点
，连接
，试判断四边形：
的形状，并说明理由；
(3)如图
，当
时，若
，请直接写出线段
的长度．
问题情境：在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题：已知矩形
，，点，分别是边，上的点，将矩形沿，所在的直线折叠，使得点落在点处，点恰好落在上的点处． (1)如图
，当点在边上时，则 ______ ， ______ ；(2)如图
，在图的基础上，延长交于点，连接，试判断四边形：的形状，并说明理由；(3)如图
，当时，若，请直接写出线段的长度．
更新时间：2023-08-23 11:47:06
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(0.4)
【推荐1】【感知】如图1，在矩形中，P是上的点，
沿
折叠B点的对应点是M点，延长
交直线于点E．求证：
．
【应用】如图2，Q是上的点，
；
沿
折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则
的值是 ．
【拓展】如图3，Q是上的点，，
，沿折叠D点的对应点是N点，若
，
的最小值是1，则的长是 ．
中，P是上的点，沿折叠B点的对应点是M点，延长交直线于点E．求证：．【应用】如图2，Q是
上的点，； 沿折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则的值是 ．【拓展】如图3，Q是
上的点，，，沿折叠D点的对应点是N点，若，的最小值是1，则的长是 ．
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【推荐2】如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（1）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长= ；
（2）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（3）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
（1）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长= ；
（2）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（3）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
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【推荐1】把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B落在边AD上（记为点），点A落在点
处，折痕分别与边AD、BC交于点E、F．
(1)试在图中连接BE，求证：四边形
是菱形；
(2)若AB＝8，BC＝16，求线段BF长能取到的整数值．
），点A落在点处，折痕分别与边AD、BC交于点E、F．(1)试在图中连接BE，求证：四边形
是菱形；(2)若AB＝8，BC＝16，求线段BF长能取到的整数值．
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【推荐2】如图，在四边形中，
，
分别为
的中点，顺次连接
．
是菱形；
(2)当
与
满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由．
中，，分别为的中点，顺次连接．
是菱形；(2)当
与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由．
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的中点，顺次连接
．
的形状，并给予证明；
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【推荐1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF（如图1）．
（1）如果AB＝AC，且点D在线段BC上运动，证明：CF⊥BD；
（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝4，CD＝2，求线段CP的长．
（1）如果AB＝AC，且点D在线段BC上运动，证明：CF⊥BD；
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【推荐2】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)操作判断：
在上选一点
，沿
折叠，使点
落在正方形内部的点
处，把纸片展平，过作
交、
、于点、、
，连接并延长交于点
，连接
，如图，当为中点时，
是______三角形．
(2)迁移探究：
如图，若
，且
，求正方形的边长．
(3)拓展应用：
如图，若
，直接写出
的值为______．
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和
是等腰直角三角形，
于点
取
的中点
连接
并延长交
．
①直接写出：
与
的位置关系是________，
已知，
若
求
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；
(3)点P在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点P、点N．使∠CPN＝90°，且△CPN与△BOC相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；
(3)点P在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点P、点N．使∠CPN＝90°，且△CPN与△BOC相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
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【推荐2】如图，AB为⊙O的直径，AC，BC是⊙O的两条弦，过点C作∠BCD=∠A，CD交AB的延长线与点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanA=
，求
的值；
（3）在（2）的条件下，若AB=7，∠CED=∠A+∠EDC，求EC与ED的长．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanA=
，求的值；（3）在（2）的条件下，若AB=7，∠CED=∠A+∠EDC，求EC与ED的长．
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的直径，四边形
为
、
于点
，且
．
；
；
，
，
，求
的长．
