【推荐1】如图，已知四边形内接于圆，圆的半径为，且，．
   
（1）若，求的长；
（2）如图2，以为斜边作等腰直角三角形，且点在的两侧，连结，求线段的取值范围．

【推荐2】（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．

【推荐3】如图，已知平面直角坐标系中，，．

(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标；
(2)在轴上找一点，当最大时，求点的坐标．（写出必要的求解过程）

【推荐2】将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，边所在直线与x轴、y轴分别相交于点A，B点M在射线上（点M不与点P、A重合）过点M作于点N，沿着折叠该纸片，顶点A的对应点为，设点M的坐标为，折叠后的与重叠部分的面积为S．

(1)填空：直接写出点A，B的坐标A__________，B__________，__________；
(2)当点与顶点B重合时，直接写出点M的坐标__________．
(3)求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

【推荐3】对于矩形，，，O为平面直角坐标系的原点，，，点B在第三象限．

(1)直接写出点B的坐标（_______，_______）；
(2)如图1，点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，
①当点Q移动了3秒时，直写出此时点Q的坐标（_______，_______）；
②当点Q到y轴距离为4个单位长度时，求出点Q移动的时间，
(3)如图1，若过点B的直线与长方形的边交于点P，且将长方形的面积分为1∶4两部分，求点P的坐标；
(4)如图2，M为x轴负半轴上一点，且，点N是x轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化?若不变，求出其值：若变化，请说明理由．

【推荐1】如图，是的直径，点是的中点，过点作弦，连接，．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若点是的中点，过点作，垂足为点．若的半径为，求的长．