如图,在平面直角坐标系中,点,动点在轴正半轴上,,动点自点向终点运动,动点自点向点运动.连接、交于点.且点、点同时出发,同时停止,并都以单位长度秒的速度运动.已知线段的长是方程的一个根.
(1)如图1,当点为线段中点时,求点的坐标.
(2)如图2,猜想线段和线段的数量关系,并证明.
(3)如图3,当时,求的面积.
(1)如图1,当点为线段中点时,求点的坐标.
(2)如图2,猜想线段和线段的数量关系,并证明.
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更新时间:2023-09-14 08:30:49
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【推荐1】如图,在平面直角坐标系中,直线y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,直线y=﹣2x+b与x轴交于点B,且过点D(1,4),点E是线段BD上一个动点(不与点B和点D重合),EF⊥x轴于点F,点P是线段OC上的一点,连接OE,EP.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)当△OEF的面积为2时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,当EP+PC最小时,请直接写出OP的长.
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【推荐2】阅读下面材料:
一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母表示,我们可以用公式来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,)
例如:3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3+×2=120.
用上面的知识解决下列问题.
(1)计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
(2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木.
一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母表示,我们可以用公式来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,)
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2009年 | 2010年 | 2011年 | 2012年 | |
植树后坡荒地的实际面积(公顷) | 25 200 | 24 000 | 22 400 | 20400 |
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【推荐1】如图,在平面直角坐标系中,轴,垂足为,轴,垂足为,已知,,其中,满足关系式.
(1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止,运动的速度为每秒2个单位长度,设点的运动时间为秒.
①在运动过程中,当点到的距离为2个单位长度时,______;
②在点的运动过程中,记的面积为,用含的代数式表示;
(2)点在射线上,点为射线上一动点,,连接,作平分交轴于点,直线上取点,连接,使,当时,求的大小.
(1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止,运动的速度为每秒2个单位长度,设点的运动时间为秒.
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【推荐2】如图,在正方形中,E为的中点,以A为原点,、所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.正方形的边长是方程的根.点P从点B出发,沿向点D运动,同时点Q从点E出发,沿向点C运动,点P的速度是每秒2个单位长度,点Q的速度是每秒1个单位长度.当点P运动到点D时,P、Q两点同时停止运动,设点P运动的时间为t秒,的面积为S.
(1)求点C的坐标;
(2)求S关于t的函数关系式;
(3)当是以为底边的等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
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【推荐1】如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线交于点P.点C为直线与x轴的交点.
(1)求点P的坐标;
(2)点是线段上的一个动点(点不与点,重合),过点作平行于轴的直线,分别交直线,于点,点,设点的横坐标为:
①求线段的长(用含的代数式表示);
②当点,,三点中有一个点是另两个点构成线段的中点,请求出的值;
(3)过点作轴于点,点在射线上且不与点重合,点在射线上,,连结,,是否存在最小值?如果存在,请直接写出最小值;如果不存在,请说明理由.
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【推荐2】如图,一次函数的图象分别与x轴,y轴交于点A,B,以线段AB为边在第二象限内作等腰,.设直线BC的解析式为,与x轴交于点D.
(1)求A,B两点的坐标,并直接写出的解析式;
(2)若射线BC上存在一点P,使得四边形AOBP的面积为4,求点P的坐标.
(3)若点M为x轴上的动点,点N为直线BC上的动点,直接写出的最小值.
(1)求A,B两点的坐标,并直接写出的解析式;
(2)若射线BC上存在一点P,使得四边形AOBP的面积为4,求点P的坐标.
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【推荐1】课题学习:我们知道二次函数的图象是抛物线,它也可以这样定义:如果一个动点M(x,y)到定点A(0,m)(m>0)的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等,那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2(a>0)的图象,如图所示.
(1)探究:当x≠0时,a与m有何数量关系?
(2)应用:已知动点M(x,y)到定点A(0,4)的距离与到定直线y=﹣4的距离相等,请写出动点M形成的抛物线的解析式.
(3)拓展:若点D的坐标是(1,8),在(2)中求得的抛物线上是否存在点P,使得PA+PD最短?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)根据抛物线的平移变换,抛物线y=(x﹣1)2+2的图象,可以看作到定点A的距离与它到定直线y=-m的距离相等的动点M(x,y)所形成的图形.请直接写出定点A的坐标和m的值.
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【推荐2】在平面直角坐标系中,一次函数的图象分别交轴、轴于点,.
(1)点的坐标为 ,点的坐标为 (用含有的式子表示);
(2)若一次函数经过点,平行于轴的两条直线,分别与一次函数的图象交于点,,点,的横坐标分别为,.当时,线段的长度是否发生变化?若不变,请求出的长;若变化,请说明理由.
(3)若一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于,求的取值范围.
(1)点的坐标为 ,点的坐标为 (用含有的式子表示);
(2)若一次函数经过点,平行于轴的两条直线,分别与一次函数的图象交于点,,点,的横坐标分别为,.当时,线段的长度是否发生变化?若不变,请求出的长;若变化,请说明理由.
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