许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨
，
的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．
分米，点A到x轴的距离是
分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(2)分别延长
，
交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
，将抛物线向右平移
个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
．若
，求m的值．
，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(2)分别延长
，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
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更新时间：2023-09-20 11:01:04
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图二次函数
（
）的图象，与直线
相交于坐标轴上的B、C两点，并且与x轴的另一个交点为A
(1)求此二次函数的表达式；
(2)过点A，C作直线，求证：
；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得
？若存在，则求出直线
的解析式；若不存在，请说明理由．
（）的图象，与直线相交于坐标轴上的B、C两点，并且与x轴的另一个交点为A(1)求此二次函数的表达式；
(2)过点A，C作直线，求证：
；(3)抛物线上是否存在点Q，使得
？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知抛物线
为常数，
经过点
，
，与
轴交于点
．点
为第二象限内抛物线上一点，连接
，与轴相交于点
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接
，当
时，求直线
的解析式；
(3)连接
，与相交于点
，当
取得最大值时，求点的坐标．
为常数，经过点，，与轴交于点．点为第二象限内抛物线上一点，连接，与轴相交于点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接
，当时，求直线的解析式；(3)连接
，与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标．
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和点
在抛物线
上．
的值及点
是以
为直角边的三角形，求点
，点
，若四边形
为正方形，求此时抛物线的表达式．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标
．当为何值时，
的面积最大？并求出这个面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线
，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点
为直线上的一点，点
是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点
，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点
为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标．当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线
，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系
中，二次函数
的图像与轴的交点坐标为
，图像的顶点为.矩形
的顶点与原点
重合，顶点
，分别在轴，轴上，顶点的坐标为
．
(1)求
的值及顶点的坐标；
(2)如图2，将矩形沿轴正方向平移
个单位
得到对应的矩形
．已知边
，
分别与函数的图像交于点，，连接
，过点作
于点
．
①当
时，求
的长；
②当
_____时，
的面积为1．（点与点不重合）
中，二次函数的图像与轴的交点坐标为，图像的顶点为.矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为． (1)求
的值及顶点的坐标；(2)如图2，将矩形
沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图像交于点，，连接，过点作于点．①当
时，求的长；②当
_____时，的面积为1．（点与点不重合）
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有实数根，
为正整数.
的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；
与图象G有3个公共点时，请你直接写出
的取值范围.
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知二次函数
（是常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴有
个公共点；
（2）如图，若该函数与轴的一交点是原点，求另一交点的坐标及顶点的坐标；
（3）在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得
最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（是常数）．（1）求证：不论
为何值，该函数的图象与轴有个公共点；（2）如图，若该函数与
轴的一交点是原点，求另一交点的坐标及顶点的坐标；（3）在（2）的条件下，
轴上是否存在一点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，抛物线
与轴交于，两点，与轴交于点．（图（2）、图（3）为解答备用图）．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)设抛物线的顶点为，求四边形
面积；
(3)在直线
下方的抛物线上是否存在一点，使得
的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于，两点，与轴交于点．（图（2）、图（3）为解答备用图）． (1)点
的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；(2)设抛物线
的顶点为，求四边形面积；(3)在直线
下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，过点
的抛物线
与轴交于，且经过点
、
．横坐标分别为和
的不重合的两点和在该抛物线上．
(1)求点的坐标和抛物线的函数表达式；
(2)当抛物线在、两点之间的点（含、）的纵坐标取得最小值
时，直接写出的取值范围；
(3)当点与点到直线
的距离相等时求的值；
(4)设抛物线的顶点为，当
的面积等于1时，直接写出的值．
的抛物线与轴交于，且经过点、．横坐标分别为和的不重合的两点和在该抛物线上．(1)求点
的坐标和抛物线的函数表达式；(2)当抛物线在
、两点之间的点（含、）的纵坐标取得最小值时，直接写出的取值范围；(3)当点
与点到直线的距离相等时求的值；(4)设抛物线的顶点为
，当的面积等于1时，直接写出的值．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，直线
：
与轴、轴分别相交于、两点，抛物线
经过点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接
、
，设点的横坐标为，
的面积为
，求与的函数表达式，并求出的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点
，将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线
，当直线与直线
重合时停止旋转，在旋转过程中，直线
与线段
交于点，设点、到直线的距离分别为
、
，当
最大时，求直线旋转的角度（即
的度数）．
：与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知点
是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；(3)在（2）的条件下，当
取得最大值时，动点相应的位置记为点，将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）．
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与直线
交于
、
，当三角形
的面积最大时，求点
，当三角形
以
个单位后得到直线
，请直接写出动点
