【推荐1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值；
(3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由；
(3)求的最大值；
(4)如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值．

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点恰好在线段BE上，求点F的坐标．
(3)如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，抛物线交于点N，在抛物线上是否存在点Q，使与的面积相等，且线段NQ的长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，直线与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 B、C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合），△BEC 面积记为 S，当 S 取何值时，对应的点 E 有且只有三个？

【推荐2】如图1，抛物线与铀交于，与轴交于抛物线的顶点为直线过交轴于．
       
（1）写出的坐标和直线的解析式；
（2）是线段上的动点(不与重合)，轴于设四边形的面积为，求与之间的两数关系式，并求的最大值；
（3）点在轴的正半轴上运动，过作轴的平行线，交直线于交抛物线于连接，将沿翻转，的对应点为.在图2中探究：是否存在点；使得恰好落在轴？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
   

【推荐3】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线与y轴交于点点M、P在线段上（不含端点），点Q在抛物线上，且平行于x轴，平行于y轴设点P横坐标为m．
(1)求直线所对应的函数表达式．
(2)用含m的代数式表示线段的长．
(3)以为邻边作矩形，求矩形的周长为9时m的值．

【推荐2】 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

【推荐3】如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．