【推荐1】数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为xdm，体积为ydm³，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式：　　；
（2）确定自变量x的取值范围是　　；
（3）列出y与x的几组对应值．

x/dm	…								1			…
y/dm3	…	1.3	2.2	2.7		3.0	2.8	2.5		1.5	0.9	…

（说明：表格中相关数值保留一位小数）
（4）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为　　dm时，盒子的体积最大，最大值约为　　dm³．

【推荐2】为了节省材料，某公司利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域，如下两图，为两个不同的方案．

(1)如图1，若米，求长方形的面积S（用含的代数式表示）；
(2)如图2，①与的数量关系是             ；
②若米，求长方形的面积S（用含的代数式表示），并求S的最大值．

【推荐3】如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为（宽不大于长），面积为．

(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时x的值；
(3)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由．

【推荐1】如图，Rt△ABO的直角顶点O为坐标原点，∠OAB=30°，点A在反比例函数(x>0)的图象上，点B在反比例函数(x<0)的图象上．
（1）当OA是第一象限的角平分线时，求点A的坐标．
（2）点A在运动过程中，k的值是否发生变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出k的值．

【推荐2】在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．

(1)特例体验：
如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：
如图②，若直线从图①状态开始绕点顺时针旋转α（），与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：
在图②中，延长线段交线段于点，若，，求．

【推荐3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F．设AD=30，BC=45，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正方形的边长．