【推荐3】已知：是的内接三角形，点为的中点，弦分别交，于点，，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，与的另一个交点为点，连接交于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

【推荐1】在正方形中，点为射线上的一个动点，点在射线上，且．

(1)如图1，当点在边上时，请直接写出、、三条线段之间的数量关系；
(2)如图2，当点在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，点在边上，且，点为的中点，在点从点沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）．

【推荐2】如图1，在正方形中，点E是边上一点（点E不与点B、C重合），交延长线于点F．
   
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点K，过点D作交于点G，垂足为点H，连接、．
①求证：；
②若，设，当是等边三角形时，求x的值；
③当时，求证：．

【推荐3】问题探究：
（1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形分成面积相等的两部分：
（2）如图②，M是正方形内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，直线分别与x轴、y轴交于点，抛物线与y轴交于点C．

(1)求点的坐标；
(2)若点是抛物线上的任意一点，设点P到直线的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
(3)若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，求的最小值．

【推荐2】如图，四边形内接于，是的直径，平分，为中点，分别延长、交于点．连接、．

(1)求证：平分；
(2)求证：为等腰直角三角形；
(3)若，，求的直径．

【推荐3】如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG²+DE²的值（直接写出结果）．