【综合与实践】
【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任作一个
，作出的平分线
．在上任取一点
，过点画出
，
的垂线，分别记垂足为
，
，测量
，
．第一小组的测量结果如下：
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
(1)【实验猜想】我们猜想角的平分线有以下性质：______．
(2)【推理证明】请结合图1，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：
，点在上，
，
，垂足分别为，．求证：
．
(3)【定理应用】如图2，点是
的角平分线上一点，，垂足为点，且
，点
是射线上一动点，求
的最小值．
【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任作一个
，作出的平分线．在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，．第一小组的测量结果如下：通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
| 学生 |  |  | 学生 | | |
| 小明 |  | | 小刚 |  | |
| 小红 |  | | 小丽 |  | |
(2)【推理证明】请结合图1，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：
，点在上，，，垂足分别为，．求证：． (3)【定理应用】如图2，点
是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
更新时间：2023-10-09 08:09:55
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【推荐1】如图，
是直角三角形，
，
，点P是
上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作
于点E，
于点F，连接
．
（1）判断四边形
的形状，并说明理由．
（2）在点P的运动过程中，有最小值吗？如果有，求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
是直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接．（1）判断四边形
的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，
有最小值吗？如果有，求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
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【推荐2】如图，已知三个点
，
，
．请按下列语句画出图形．
(1)画射线
．
(2)画直线
．
(3)在直线上找一点，连结
，使线段最短．
，，．请按下列语句画出图形． (1)画射线
．(2)画直线
．(3)在直线
上找一点，连结，使线段最短．
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【推荐1】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，∠OME＝∠OND，DN和EM相交于点C，CD＝CE．求证：点C在∠AOB的平分线上．
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【推荐2】已知：中，
点D是的中点．
(1)如图1，
，
．垂足分别为E、F．求证：
；(2)若
．点E在的延长线上．且
①如图2，若点F（恰好在
上），求证：；
②如图3，若点F在
的延长线上，
，
，直接写出
的长．
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，点A是
上一点且
，点
在线段
，
，垂足为A．
，
，则
_________．
，垂足为
，如图2所示；
；
；
，
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【推荐1】如图，在中，垂直平分边，交于点E，
平分
的外角
，
，垂足为点G，
，垂足为点H．求证：
．
中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：．
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【推荐2】如图1，在四边形
中，
，点E在
的延长线上，连接
．
(1)求证：
；
(2)如图2，
于点F，若
，连接
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若
，求线段
的长．
中，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：
；(2)如图2，
于点F，若，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若，求线段的长．
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中，点
轴的正半轴上运动，点
轴的正半轴上运动，
的外角平分线相交于点
图所示，连接
．
交
的平分线于点
