【推荐1】【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．
①小东发现，．
②小红发现，．
请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．

                    图1
【问题再探】
（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．
如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：．

                  图2
【学以致用】
（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．

                         图3

【推荐2】（1）【图形初探】如图1，在等边中，点是中点，连接，将射线以点为旋转中心逆时针旋转，得到射线，点在射线上且满足，连接，则__________；
（2）【模型探究】在等边中，点是中点，点是上一点，连接，将射线以点为旋转中心逆时针旋转，得到射线，点在射线上且满足，，连接，．补全图形，求度数；
（3）【拓展延伸】在（2）中，将条件“点是上一点，”改为“点是射线上一点，”，补全图形，探究和的数量关系．

【推荐1】综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．

   【观察发现】

(1)在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
(2)如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．

①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
(3)如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．

【推荐2】我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．

   

(1)如图1，当，的长为时，求的长．
(2)如图2，当，时，求的值．
(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．

【推荐3】已知：如图①，为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为中点，连接．将向右平移，使点B与点C重合；将向下平移，使点A与点C重合，如图②．

(1)设、、的面积分别为、、，则_______（用“、、”填空）
(2)已知：如图③，，，设、、的面积分别为、、；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）