【推荐1】已知二次函数y＝2x²+bx﹣1（b为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值；
（2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x²+bx﹣1图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围．

【推荐2】如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
(1)若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．
(2)若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点．

   

(1)求点的坐标；
(2)如图1，若在轴上方的抛物线上存在一点，使得，当时，求点的坐标；
(3)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】二次函数的图象交轴于原点及点．

【感知特例】
(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：

…				（___，___）		…
…						…

①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．

【推荐1】已知正方形的边长为6，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧．

(1)如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长；
(2)如图2，连接，并延长交于点H，若，求证：；
(3)如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值．

【推荐2】平面直角坐标系中，已知抛物线：（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．

(1)若，求点A，B，C的坐标，且          
(2)如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接，若，求点D的坐标及的长度
(3)如图2，将抛物线向左平移n个单位长度与直线交于M，N（点M在点N右边），若，求m，n之间的数量关系．

【推荐3】抛物线经过点和，与轴交于另一点．

(1)则抛物线的解析式为______；顶点坐标为______．
(2)如图1，连接，将直线沿折叠交抛物线于点，求点坐标；
(3)如图2，为抛物线上任意一点，连接，将沿轴折叠交抛物线于点，连接，过点作轴的平行线交于点，求的值．

【推荐1】【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．

【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为，经过A点的直线交抛物线于点．　　　
   
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)点M为直线上方抛物线上一点，求当四边形的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．
(3)点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，是否存在点P，使得以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来；如果不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．
（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值．