【推荐1】如图，数轴上有，两点，所表示的有理数分别为、，已知，原点是线段上的一点，且．

(1)______，______．
(2)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点速度为每秒个单位长度，点速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动．
①当为何值时，点与点停止运动；
②当点到达点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中点行驶的总路程，并直接写出点最后位置在数轴上所对应的有理数．

【推荐2】已知数轴上两点、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．
   
(1)若点为的中点，直接写出点对应的数；
(2)数轴的原点右侧是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；
(3)现在点、点分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所对应的数是多少？

【推荐3】【阅读理解】
定义：，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离一半，则称点是的相伴点．
例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为0．点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点是的相伴点；又如，点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点就不是的相伴点，但点是的相伴点．
【知识应用】
如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为1．

(1)点，，表示的数分别是，，5.5，其中___________是的相伴点；
(2)现有一个动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当运动时间为何值时，点是的相伴点？
【拓展提升】
(3)如图3，，为数轴上两点，若点表示的数是，点表示的数是40，现有两个动点、分别从点，开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动．当点，和中恰有一个点为其余两点的相伴点时，运动时间为___________秒（直接写出答案）．

【推荐1】已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点，对应的数分别为，．
   
(1)________，________，线段________；
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请在数轴上找一点，使，则点表示的数是多少？
(3)在（2）的条件下，若点C在线段上，动点P从点C出发，以3个单位长度/秒速度由C向B的方向运动；同一时刻，另一动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒速度向正方向运动，设动点P的运动时间为t秒．当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，求此时t的值．

【推荐2】已知在纸面上有一数轴（如图)，折叠纸面．例如：若数轴上数表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数表示的点重合．根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数表示的点与数表示的点重合．(根据此情境解决下列问题)

求数轴上与数表示的点重合的点表示的数；
若点到原点的距离是个单位长度，并且两点经折叠后重合，求点表示的数；
若数轴上两点之间的距离为，并且两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，求点，点表示的数．

【推荐3】已知：，c比b大2．

(1)______，______，______．
(2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．

【推荐1】如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．


(1)当时，点P表示的有理数是______；
(2)当点P与点B重合时，______；
(3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）；
②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示）
(4)当t的值为多少时，．

【推荐2】已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．
   
(1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离．
(2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足．
①写出两点之间的距离．
②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数．
(3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．

【推荐3】阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|
当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时，

（1）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|
（2）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|
（3）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|
综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|
请用上面的知识解答下面的问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　，如果|AB|=2，那么x为　 　．
（3）当|x+1|+|x﹣2|=5时的整数x的值　 　．
（4）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　．

【推荐1】如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题：

（1）当时，A点表示的数为_________，此时_________；
（2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值；
（3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________．

【推荐2】已知a是最大的负整数，b是的倒数，c比a小1，且a、b、c分别是A、B、C在数轴上对应的数．若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．
   
（1）在数轴上标出点A、B、C的位置；
（2）运动前P、Q两点间的距离为       ；运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为      和        ；
（3）求运动几秒后，点P与点Q相遇？
（4）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于11，直接写出所有点M对应的数．

【推荐3】点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接AQ、CP交于点M，
①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，
①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系．