【推荐1】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．
（3）数轴上点用数表示：
①若，那么的值是________．
②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．
③有最小值，最小值是___________．

【推荐3】如图，已知在数轴上有三个点，，，是原点，其中，，三点表示的数分别是，，，动点从点出发向右以每秒个单位的速度匀速运动：同时，动点从点出发，在数轴上向左匀速运动，速度为每秒个单位；运动时间为（单位：秒）．

(1)求：点从点运动到点时，运动时间的值．
(2)若的速度为每秒个单位，那么经过多长时间，两点相距个单位？
(3)当时，请求出点的速度的值（注：表示、两点之间的距离）．

【推荐1】已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．
（1）写出、两点所对应的数；
（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；
（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值．

【推荐2】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=22．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的代数式表示）；
(2)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?（列一元一次方程解应用题）
(3)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问 秒时P、Q之间的距离恰好等于2（直接写出答案）
(4)思考在点P的运动过程中，若M为AP的中点，N为PB的中点.线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.

【推荐3】如图，在一条直线上，从左到右依次有点、、，其中，．以这条直线为基础建立数轴、设点、、所表示数的和是．

(1)如果规定向右为正方向；
若以的中点为原点，以为单位长度建立数轴，则___________；
若单位长度不变，改变原点的位置，使原点在点的右边，且，求的值；并说明原点每向右移动，值将如何变化？
若单位长度不变，使，则应将中的原点沿数轴向___________方向移动___________；
若以中的原点为原点，单位长度为建立数轴，则___________．
(2)如果以为单位长度，点表示的数是，则点表示的数是___________．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知，且满足．

(1)写出两点的坐标；
(2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．

(1)填空：______，______；
(2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积；
(3)在（2）的条件下，的连线交y轴于点P，判断的值是否为定值，若不是请说明理由；若是请求出其定值．

【推荐3】从今年开始，“金鸡百花电影节”长期落户厦门，为了主场馆更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．其中一组灯光如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉投射．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)²=0．假定舞台前后幕布是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；

（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【推荐1】讨论方程的解的情况．

【推荐2】阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．
   
例1．已知，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2．
例2．已知，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若，则________，若，则________；
(2)的最小值是________，若，则________；
(3)代数式的最小值为________；
(4)求代数式的最小值．

【推荐3】有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后，显示 的结果．比如依次输入 ，，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值．
(1)若小明依次输入 ，，，则最后输出的结果是多少？
(2)若将 ，，， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？
(3)若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，已知 的最大值为 ，求 的最小值．