【问题情境】
（1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图
，
是
的直径，
是上的一动点，若
，则
面积的最大值为 ．请帮小明直接填空；
【模型归纳】
（2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图
，是的弦，是优弧上的一动点，过点作
于
点，当且仅当
经过圆心
时，最大．请帮助小明完成这个结论的证明；
【模型应用】
（3）如图
是四边形休闲区域设计示意图
，已知
，
，休闲区域内原有一条笔直小路
的长为
米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为
米的小路
，满足点
在边上，点
在小路上．按设计要求需要给图中阴影区域（即
与四边形
，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图
，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为 ．请帮小明直接填空；【模型归纳】
（2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图
，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，当且仅当经过圆心时，最大．请帮助小明完成这个结论的证明；【模型应用】
（3）如图
是四边形休闲区域设计示意图，已知，，休闲区域内原有一条笔直小路的长为米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在小路上．按设计要求需要给图中阴影区域（即与四边形，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
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更新时间：2023-11-06 16:48:12
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】探究题：
（1）问题发现：如图1，
和
均为等边三角形，点
、
、
在同一直线上，连接
.填空：①
的度数为______（直接写出结论，不用证明）.
②线段
、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）.
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，
，点、、在同一直线上，
为中
边上的高，连接.请判断的度数及线段、
、之间的数量关系，并说明理由.
（3）解决问题：在（2）问的条件下，若
，
，试求
的面积（用
，
表示）.
（1）问题发现：如图1，
和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接.填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）.②线段
、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）.（2）拓展探究：如图2，
和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接.请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题：在（2）问的条件下，若
，，试求的面积（用，表示）.
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(0.4)
名校
【推荐2】已知：如图，在等腰
中，
，
，将线段
绕点
顺时针旋转一定角度得到线段
．连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点
，交于点
．
(1)如图1，若
①求
的度数；
②求证：
；
(2)如图2，若
，当
时，求
的值
中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段．连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点． (1)如图1，若
①求
的度数；②求证：
；(2)如图2，若
，当时，求的值
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(0.4)
名校
【推荐3】（1）如图1，在
中，
，
．求证
．
①补全证明过程．
证明：如图2，取中点D，连接
．
∴
．
在中，，
∴______；
∴
．
又，
∴
．
∴
为______三角形．
∴
．
②请用文字概括①所证明的命题：____________．
（2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案：
方案1：
；
方案2：
（G为
的中点）；
方案3：
（O为
三边的垂直平分线的交点）．
①设
，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短；
②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由．
中，，．求证．①补全证明过程．
证明：如图2，取
中点D，连接．∴
．在
中，，∴______；
∴
．又
，∴
．∴
为______三角形．∴
．②请用文字概括①所证明的命题：____________．
（2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案：
方案1：
；方案2：
（G为的中点）；方案3：
（O为三边的垂直平分线的交点）．①设
，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短；②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】内接于，
，的长是
，是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接．平分
，
①求证：
；
②若
，求的长；
(2)如图（2）若
，求面积的最大值．
内接于，，的长是，是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接．
平分，①求证：
；②若
，求的长；(2)如图（2）若
，求面积的最大值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∠B+∠C+∠ADB＝4∠BAC，
(1)求∠ADC的度数；
(2)如图2，若AD＝BD+CD，求证：AD平分∠BDC；
(3)如图3，在（2）的条件下，E、F分别在AC、AB上，交于点P，使得∠BPC＝∠BDC，若BD=EF=7，AD＝15，求△EFP的⾯积．
(1)求∠ADC的度数；
(2)如图2，若AD＝BD+CD，求证：AD平分∠BDC；
(3)如图3，在（2）的条件下，E、F分别在AC、AB上，交于点P，使得∠BPC＝∠BDC，若BD=EF=7，AD＝15，求△EFP的⾯积．
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切
交
是等腰三角形；
于
点，交
，交
于
，如图2，若
，
，求
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
【问题提出】
（1）如图①，在
中，点D为斜边AB上的一点，
，
，且四边形
是正方形，小明运用图形旋转的方法，将
绕点D逆时针旋转
，得到
（如图②所示），请你写出阴影部分的面积： ；
【问题探究】
（2）如图③，在四边形
中，
，
，
，
，过点A作
，垂足为E，求AE的长；
【问题解决】
（3）如图④，在四边形中，
，
，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接AE．若
，
，求
的面积．
【问题提出】
（1）如图①，在
中，点D为斜边AB上的一点，，，且四边形是正方形，小明运用图形旋转的方法，将绕点D逆时针旋转，得到（如图②所示），请你写出阴影部分的面积： ；【问题探究】
（2）如图③，在四边形
中，，，，，过点A作，垂足为E，求AE的长；【问题解决】
（3）如图④，在四边形
中，，，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接AE．若，，求的面积．
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解答题-证明题
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(0.4)
名校
【推荐2】在四边形中，点、分别在边、上，且
，连接
、
交于点，连接
、
交于点
，得四边形
（如图1所示）．则称四边形为四边形的“准内接四边形”．
(1)如图2，若四边形是平行四边形，求证：四边形的“准内接四边形”为平行四边形；
(2)如图3，若矩形的“准内接四边形”是矩形，
，，求
的长；
(3)如图4，在
中，
，
，
，通过探索发现：随着
、
数量关系的变化，的“准内接四边形”是矩形的个数也随之发生变化
请直接写出、之间的数量关系及相对应的矩形的个数．
中，点、分别在边、上，且，连接、交于点，连接、交于点，得四边形（如图1所示）．则称四边形为四边形的“准内接四边形”．(1)如图2，若四边形
是平行四边形，求证：四边形的“准内接四边形”为平行四边形；(2)如图3，若矩形
的“准内接四边形”是矩形，，，求的长；(3)如图4，在
中，，，，通过探索发现：随着、数量关系的变化，的“准内接四边形”是矩形的个数也随之发生变化请直接写出、之间的数量关系及相对应的矩形的个数．
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(0.4)
【推荐3】（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题：
如图，在和
中，
，
，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若
，求证：
．
张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题：
①如图1，从条件出发：过A作
交于M，过D作
交于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与
之间的关系，可证得结论；
②如图2，从结论出发：过D作
交于P，依据三角形全等的判定，证明
，可证得结论；
请你运用其中一种方法，解决上述问题．
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：
如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若
，
，的面积为7，求的长．
（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题：
如图4，在四边形中，
，
，点E为中点，连接，若
，
，
，求的长．
如图，在
和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：．张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题：
①如图1，从条件出发：过A作
交于M，过D作交于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论；②如图2，从结论出发：过D作
交于P，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论；请你运用其中一种方法，解决上述问题．
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：
如图3，在
中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求的长．（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题：
如图4，在四边形
中，，，点E为中点，连接，若，，，求的长．
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(0.4)
【推荐1】如图，
、
是以
为直径的半圆的两条切线，
与半圆交于点，连接
，过点作
，交于点.
、是以为直径的半圆的两条切线，与半圆交于点，连接，过点作，交于点.(1)若弧AE的度数为140º，求
的度数;
(2)求证: 
.
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，已知为⊙的直径，为⊙的一条弦，点是⊙外一点，且
，垂足为点，交⊙于点，
的延长线交⊙于点，连接
．
（1）求证：
；
（2）若
，求证：
是⊙的切线；
（3）若
，
，求⊙的半径．
为⊙的直径，为⊙的一条弦，点是⊙外一点，且，垂足为点，交⊙于点，的延长线交⊙于点，连接． （1）求证：
；（2）若
，求证：是⊙的切线；（3）若
，，求⊙的半径．
您最近一年使用：0次
于点
．点
．
的形状，并说明理由；
；
并延长，过点
，交
是
