【推荐1】如图，在中，，，点是上的一点，且，，垂足分别为点、，求证：垂直平分．
   

【推荐3】如图，中，于点与交于点，连接．
（1）试判断与有什么样的数量关系．并说明理由；
（2）若，求的长．

【推荐1】如图1，在中，，，点在边上，于点，过点作交的延长线于点．
   
(1)求证：；
(2)如图2，过点作交于点，连接交于点． 判断的形状，并说明理由．

【推荐2】如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．

(1)若，求的度数；
(2)求证：．

【推荐1】如图，为圆的直径，取的中点，过点作交圆于点，在的上方，连接，，点在线段的延长线上，且．
（1）求的度数；
（2）求直线与圆的公共点个数．

【推荐2】【问题背景】
如图，在中，，．是边上一点（不与点重合且），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．

【问题探究】（1）如图1，求的度数；
【拓展延伸】（2）如图2，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，过点作交于点，交于点．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【推荐3】阅读理解学习：
在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则


同理可得：
即：……①
由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又，将等式两边同除以得…………②
由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．

【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：
如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．
(1)求的面积；
(2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）．

【推荐1】如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．

(1)求证：；
(2)如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．

【推荐3】如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB  60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一点，且AECF1．
（1）证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
（2）求△BEF 面积的最小值．