【推荐1】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，试问∠ADE的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB=6，求CF的最大值．

【推荐3】综合与实践
【知识方法】
（1）如图1，在与中，，连接、，则与的数量关系是___；
【类比迁移】
（2）如图2，正方形与正方形共用点D，连接、、，试探究与之间的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】
（3）如图3，点P是矩形边上的动点，连接，将绕点P顺时针旋转至，交于点G，将绕点P顺时针旋转至，连接、、，若，求四边形面积的最小值．

【推荐1】【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系        ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．

   

【推荐2】对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q，给出如下定义：若点 Q 满足 QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当 QM=QN=MN 时，称点 Q为线段 MN 的“完美中垂点”．
(1)如图 1，A（4，0），在Q₁（0，4）、Q₂（2，-4）、Q₃(1，)中，可以是线段 OA 的中垂点是               ；
(2)如图 2，点 A为x轴上一点，若点Q(2，2)为线段 OA 的“完美中垂点”，请求出线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标；
(3)若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段 OA 的“完美中垂点”，点 P（0，m）在 y轴上，在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M，请问∠MQA的度数是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)【探究】把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是____________．

【推荐1】如图，等边三角形中，为边上的一点，点关于直线的对称点为点，连接，，在上取点，使得，射线与交于点．

（1）设，求的度数．（用含的代数式表示）
（2）探究与之间的等量关系，并证明．

【推荐2】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BP是△ABC的角平分线，过点P作PD⊥AB于点D，将∠EPF绕点P旋转，使∠EPF的两边交直线AB于点E，交直线BC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EPF绕点P旋转到如图①的位置，点E在线段AD上，点F在线段BC上时，且满足PE＝PF．
①请判断线段CP、CF、AE之间的数量关系，并加以证明
②求出∠EPF的度数．
（2）当∠EPF保持等于（1）中度数且绕点P旋转到图②的位置时，若∠CFP＝60°，BE＝+﹣1，求△AEP的面积．
（3）当∠EPF保持等于（1）中度数且绕点P旋转到图③的位置时，若∠CFP＝30°，BE＝（++1）m，请用含m的代数式直接表示△AEP的面积．

【推荐3】如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．
（1）求证：AE＝BD；
（2）连接MN，求证：MN∥BE；
（3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由．

【推荐1】如图，在菱形中，，，对角线、交于点，点为直线上的动点（不与点重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、.
（1）问题发现
如图，当点在直线上时，线段与的数量关系为                ；        ；
（2）拓展探究
如图，当点在线段的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）问题解决
当点在左侧时，且时，请直接写出线段的长度.

【推荐2】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F；

（1）求∠AFE的度数；
（2）连接FC，若∠AFC=90°，BF=1，求AF的长.