【推荐1】数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．
【琛究】：

（1）如图①，当点在上时，______．
（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．

【推荐2】如图，在中，．

(1)在边上求作一点P，使点P到边的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．

【推荐3】如图，在中，，AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG，点E、F分别是AB、CG的中点，且．

（1）求证：；
（2）若点E恰在射线CG上，求的度数．

【推荐1】如图，在四边形中，，，．M、N分别是对角线，的中点．

(1)请判断和的位置关系，并证明；
(2)求线段的长．

【推荐2】如图，为的直径，C为上一点，连接为延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，为，求的长．

【推荐3】如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．
   
(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）

【推荐1】（1）在菱形中，，，求BD的长．

（2）在矩形中，，，求矩形的面积．

【推荐2】如图：矩形ABCD在平面直角坐标系中，且顶点O为坐标原点，已知点B的坐标为（3，2）．请写出直线AC的解析式．

【推荐3】在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知：如图，点A、B、M在上，且满足，连接，．过点B作直线，交的延长线于点C．

(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长．

【推荐2】如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为，求圆中阴影部分的面积．

【推荐3】如图，为的内接三角形，P为延长线上一点，，为的直径，过C作交于E，交于F，交于G．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：．